beweis zu off./abgeschl. menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Sa 19.04.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | es sei (M,d) ein metr. raum und N teilmenge M. Zeigen Sie:
1) N abgeschlossen <=> [mm] \partial [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] N
2) N offen <=> [mm] \partial [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] (M \ N) |
hi zusammen ^^
also mir ist klar was der satz sagt, nur ich hab immer noch starke probleme mit dem richtigen beweisführen von wegen wenn man eine bedingung gegen hat, was man davon ableiten kann... die theorie is mir klar, nur ich kann se net anwenden, das ist das dumme -.-
aus der vorlesung wissen wir wie ein randpunkt definiert ist und zudem mit unserem Satz 1.7:
(M,d) metr. raum, N teilmenge M, dann gilt:
1)N \ [mm] \partial [/mm] N ist offen,
2)N vereinigt [mm] \partial [/mm] N ist abgeschlossen
[mm] 3)\partial [/mm] N ist abgeschlossen (alles schon bewiesen worden)
wobei [mm] \partial [/mm] N die menge alles randpunkte sein soll!
also bildchen hab ich mir schon gemalt dazu, epsilonbälle am rand für beweisideen... ^^
zu 1 wär ich so vorgegangen: <= : [mm] \partial [/mm] N (rand) liegt in der menge selbst, somit gilt doch schon laut dem satz, dass die menge abgeschlossen ist.
für die rückrichtung hätt ich mich vllt aufs kompliment bezogen,
zu 2 ist doch praktisch ne verneinung des teiles von 1 oder ist das ne falsche annahme?
das sind egtl auch leichte sachen nur wär cool wenn mir jemand behilflich wär!!
lg
bene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Sa 19.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> es sei (M,d) ein metr. raum und N teilmenge M. Zeigen Sie:
> 1) N abgeschlossen <=> [mm]\partial[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] N
> 2) N offen <=> [mm]\partial[/mm] N [mm]\subseteq[/mm] (M \ N)
> hi zusammen ^^
> also mir ist klar was der satz sagt, nur ich hab immer
> noch starke probleme mit dem richtigen beweisführen von
> wegen wenn man eine bedingung gegen hat, was man davon
> ableiten kann... die theorie is mir klar, nur ich kann se
> net anwenden, das ist das dumme -.-
>
> aus der vorlesung wissen wir wie ein randpunkt definiert
> ist und zudem mit unserem Satz 1.7:
> (M,d) metr. raum, N teilmenge M, dann gilt:
> 1)N \ [mm]\partial[/mm] N ist offen,
> 2)N vereinigt [mm]\partial[/mm] N ist abgeschlossen
> [mm]3)\partial[/mm] N ist abgeschlossen (alles schon bewiesen
> worden)
>
> wobei [mm]\partial[/mm] N die menge alles randpunkte sein soll!
>
> also bildchen hab ich mir schon gemalt dazu, epsilonbälle
> am rand für beweisideen... ^^
> zu 1 wär ich so vorgegangen: <= : [mm]\partial[/mm] N (rand) liegt
> in der menge selbst, somit gilt doch schon laut dem satz,
> dass die menge abgeschlossen ist.
> für die rückrichtung hätt ich mich vllt aufs kompliment
> bezogen,
Mach dir die Definition des Randes klar: Der Rand besteht genau aus den Punkten, die sowohl Häufungspunkte der Menge, als auch Häufungspunkte ihres Komplementes sind.
Ist N nun abgeschlossen, dann enthält N nach Def. alle seine Häufungspunkte und damit auch seinen Rand.
> zu 2 ist doch praktisch ne verneinung des teiles von 1 oder
> ist das ne falsche annahme?
N offen <==> M \ N abgeschlossen, womit es klar sein dürfte...
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 So 20.04.2008 | | Autor: | eumel |
würd man das auf das beispiel N=[0,1] und M=|R übertragen meine ich haben wir das über folgen bewiesen, dass es halt folgen in N gibt, die gegen 0 und 1 konvergieren, in M ebenfalls. oder irre ich mich jetzt total?
falls das doch stimmen sollte müsste in der art dann vorgegangen werden?
gr ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mo 21.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo eumel,
> würd man das auf das beispiel N=[0,1] und M=|R übertragen
> meine ich haben wir das über folgen bewiesen, dass es halt
> folgen in N gibt, die gegen 0 und 1 konvergieren, in M
> ebenfalls. oder irre ich mich jetzt total?
> falls das doch stimmen sollte müsste in der art dann
> vorgegangen werden?
nein, gar nicht.
In meiner Antwort (lies sie nochmal) ist bereits der Beweis von 1.) Richtung ==> enthalten.
Darunter ein Hinweis für 2.)
LG
Will
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