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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 19.07.2008 | | Autor: | marie11 |
| Aufgabe | seien A,B,C, D [mm] \in [/mm] M(nxn,K). Zeigen Sie: Ist AC = CB und det [mm] \not= [/mm] 0;
so gilt:
det [mm] \pmat{A&B \\C&D} [/mm] =det (AD-CB) |
ich lerne für die klausur!wie soll ich das beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Blech |
> seien A,B,C, D [mm]\in[/mm] M(nxn,K). Zeigen Sie: Ist AC = CB und
> det [mm]\not=[/mm] 0;
> so gilt:
>
> det [mm]\pmat{A&B \\C&D}[/mm] =det (AD-CB)
> ich lerne für die klausur!wie soll ich das beweisen?
>
>
Wir brauchen eine Zerlegung von [mm] $\pmat{A&B \\C&D}=XY$, [/mm] wobei wir wollen, daß
[mm] $X=\pmat{A&0_n \\C'&I_n}$ [/mm] gilt, weil sich davon leicht die Determinante bilden läßt (einfach von der letzten Spalte her das Entwickeln anfangen)
Mit der analogen Forderung an Y:
[mm] $Y=\pmat{I_n&N \\0_n&P}$
[/mm]
erhalten wir (durch ein einfaches Gleichungssystem):
[mm] $X=\pmat{A&0_n \\C&I_n}$, $Y=\pmat{I_n&A^{-1}B \\0_n &D-CA^{-1}B}$
[/mm]
Damit folgt (mit [mm] $0\neq \det [/mm] A = [mm] \frac{1}{\det A^{-1}}$):
[/mm]
[mm] $\det \pmat{A&B \\C&D} [/mm] = [mm] \det [/mm] XY = [mm] \det [/mm] X [mm] \det [/mm] Y = [mm] \det [/mm] A [mm] \det (D-CA^{-1}B)=$ [/mm]
$ = [mm] \det [/mm] A [mm] \det( A^{-1}(AD-ACA^{-1}B)) [/mm] = [mm] \frac{\det A}{\det A} \det(AD-CAA^{-1}B)$
[/mm]
Jedenfalls gilt das, falls Deine Angabe falsch ist, und die zwei Bedingungen
$AC=CA$ und [mm] $\det A\neq [/mm] 0$ heißen sollen.
ciao
Stefan
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> > seien A,B,C, D [mm]\in[/mm] M(nxn,K). Zeigen Sie: Ist AC = CB und
> > det [mm]\not=[/mm] 0;
> > so gilt:
> >
> > det [mm]\pmat{A&B \\C&D}[/mm] =det (AD-CB)
> > ich lerne für die klausur!wie soll ich das beweisen?
> >
> >
> Wir brauchen eine Zerlegung von [mm]\pmat{A&B \\C&D}=XY[/mm], wobei
> wir wollen, daß
> [mm]X=\pmat{A&0_n \\C'&I_n}[/mm] gilt, weil sich davon leicht die
> Determinante bilden läßt (einfach von der letzten Spalte
> her das Entwickeln anfangen)
>
> Mit der analogen Forderung an Y:
> [mm]Y=\pmat{I_n&N \\0_n&P}[/mm]
>
> erhalten wir (durch ein einfaches Gleichungssystem):
> [mm]X=\pmat{A&0_n \\C&I_n}[/mm], [mm]Y=\pmat{I_n&A^{-1} \\0_n &D-CA^{-1}B}[/mm]
>
Muss es hier nicht [mm] X=\pmat{A&0_n \\C&I_n}, Y=\pmat{I_n&A^{-1}B \\0_n &D-CA^{-1}} [/mm] heißen?
> Damit folgt (mit [mm]0\neq \det A = \frac{1}{\det A^{-1}}[/mm]):
>
> [mm]\det \pmat{A&B \\C&D} = \det XY = \det X \det Y = \det A \det (D-CA^{-1}B)=[/mm]
> [mm]= \det A \det( A^{-1}(AD-ACA^{-1}B)) = \frac{\det A}{\det A} \det(AD-CAA^{-1}B)[/mm]
>
> Jedenfalls gilt das, falls Deine Angabe falsch ist, und die
> zwei Bedingungen
> [mm]AC=CA[/mm] und [mm]\det A\neq 0[/mm] heißen sollen.
>
> ciao
> Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 So 20.07.2008 | | Autor: | Blech |
Ja. Thx.
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