beweise in der mengenlehre < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A,B [mm] \subseteq [/mm] X
z.z.: [mm] X\backslash(X\backslash [/mm] A)=A |
Ich habe mehrere solcher Aufgaben, und kann sie mit einer Skizze auch schnell lösen und verstehen, leider bekomme ich das mathematisch Formal nicht hin. Wenn mir das mal jemand aufschreiben könnte.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> A,B [mm]\subseteq[/mm] X
> z.z.: [mm]X\backslash(X\backslash[/mm] A)=A
> Ich habe mehrere solcher Aufgaben, und kann sie mit einer
> Skizze auch schnell lösen und verstehen, leider bekomme
> ich das mathematisch Formal nicht hin. Wenn mir das mal
> jemand aufschreiben könnte.
>
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du mußt zeigen:
1. [mm]X\backslash(X\backslash[/mm] A) [mm] \subseteq [/mm] A
und
2. [mm] A \subseteq X\backslash(X\backslash[/mm] A)
1. Mache ich Dir vor:
Sei x [mm] \in[/mm] [mm]X\backslash(X\backslash[/mm] A). Dann ist x [mm] \in [/mm] X, aber x [mm] \notin [/mm] X \ A. Folglich ist x [mm] \in [/mm] A.
2. Versuch Du das nun.
FRED
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wenn ich das richtig verstehe also:
sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X aber x [mm] \not\in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] A und somit folgt
x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] (X [mm] \backslash [/mm] A)
ist das richtig gefolgert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
ja
fred
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| Aufgabe | | X [mm] \backslash [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)= (X [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \backslash [/mm] B) |
gut soweit schon mal danke...hier die nächste Aufgabe.
Meine Idee:
1.)
sei x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (X [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \backslash [/mm] B)
2.)
sei x [mm] \in [/mm] (X [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \Rightarrow x\not\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> X [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)= (X [mm]\backslash[/mm] A) [mm]\cap[/mm] (X
> [mm]\backslash[/mm] B)
> gut soweit schon mal danke...hier die nächste Aufgabe.
> Meine Idee:
>
> 1.)
> sei x [mm]\in[/mm] X [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A
> [mm]\cup[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x
> [mm]\in[/mm] (X [mm]\backslash[/mm] A) [mm]\cap[/mm] (X [mm]\backslash[/mm] B)
>
> 2.)
> sei x [mm]\in[/mm] (X [mm]\backslash[/mm] A) [mm]\cap[/mm] (X [mm]\backslash[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow x\not\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
>
> Richtig?
Ja
FRED
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| Aufgabe | X,Y sind Mengen A,B [mm] \subseteq [/mm] X und C,D [mm] \subseteq [/mm] Y und f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Bei d) und f) sollen noch bsp gefunden werden, die zeigen, dass nicht zwangsläufig Gleichheit vorliegt.
c) f(A [mm] \cup [/mm] B) = f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)
d) f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
e) f^-1 (C [mm] \cap [/mm] D)= f^-1 (C) [mm] \cap [/mm] f^-1 f(D)
f) A [mm] \subseteq [/mm] f^-1 (f(A)) und f(f^-1 (C)) [mm] \subseteq [/mm] C |
zu c) und e) habe ich mir folgendes überlegt:
c)
1. sei f(x) [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \vee [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(B)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)
2. sei f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \vee [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(B)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)
d) die Abbildung muss doch eindeutig umkehrbar sein, oder?
dann kann man doch sagen:
sei f^-1 (x) [mm] \in [/mm] f^-1(C [mm] \cap [/mm] D)
[mm] \Rightarrow [/mm] f^-1(x) [mm] \in [/mm] f^-1(C) [mm] \vee [/mm] f^-1(x) [mm] \in [/mm] f^-1(D)
[mm] \Rightarrow [/mm] f^-1(x) [mm] \in [/mm] f^-1(C) [mm] \cap [/mm] f^-1(D)
und umgekehrt.
Sind die zwei Lösungen richtig?
Bei d) und f) kann ich mir auch etwas vorstellen nur bekomme ich das Formal nicht hin und finde auch kein echtes Beispiel.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 05.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Aufgabe
X,Y sind Mengen A,B $ [mm] \subseteq [/mm] $ X und C,D $ [mm] \subseteq [/mm] $ Y und f: X $ [mm] \to [/mm] $ Y eine Abbildung. Bei d) und f) sollen noch bsp gefunden werden, die zeigen, dass nicht zwangsläufig Gleichheit vorliegt.
c) f(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) = f(A) $ [mm] \cup [/mm] $ f(B)
d) f(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \subseteq [/mm] $ f(A) $ [mm] \cap [/mm] $ f(B)
e) f^-1 (C $ [mm] \cap [/mm] $ D)= f^-1 (C) $ [mm] \cap [/mm] $ f^-1 f(D)
f) A $ [mm] \subseteq [/mm] $ f^-1 (f(A)) und f(f^-1 (C)) $ [mm] \subseteq [/mm] $ C
zu c) und e) habe ich mir folgendes überlegt:
c)
1. sei f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(A) $ [mm] \vee [/mm] $ f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(B)
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(A) $ [mm] \cup [/mm] $ f(B)
2. sei f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(A) $ [mm] \cup [/mm] $ f(B) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(A) $ [mm] \vee [/mm] $ f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(B)
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(A $ [mm] \cup [/mm] $ B)
d) die Abbildung muss doch eindeutig umkehrbar sein, oder?
dann kann man doch sagen:
sei f^-1 (x) $ [mm] \in [/mm] $ f^-1(C $ [mm] \cap [/mm] $ D)
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f^-1(x) $ [mm] \in [/mm] $ f^-1(C) $ [mm] \vee [/mm] $ f^-1(x) $ [mm] \in [/mm] $ f^-1(D)
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f^-1(x) $ [mm] \in [/mm] $ f^-1(C) $ [mm] \cap [/mm] $ f^-1(D)
und umgekehrt.
Sind die zwei Lösungen richtig?
Bei d) und f) kann ich mir auch etwas vorstellen nur bekomme ich das Formal nicht hin und finde auch kein echtes Beispiel.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe
> X,Y sind Mengen A,B [mm]\subseteq[/mm] X und C,D [mm]\subseteq[/mm] Y und f:
> X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung. Bei d) und f) sollen noch bsp
> gefunden werden, die zeigen, dass nicht zwangsläufig
> Gleichheit vorliegt.
>
> c) f(A [mm]\cup[/mm] B) = f(A) [mm]\cup[/mm] f(B)
> d) f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
> e) f^-1 (C [mm]\cap[/mm] D)= f^-1 (C) [mm]\cap[/mm] f^-1 f(D)
> f) A [mm]\subseteq[/mm] f^-1 (f(A)) und f(f^-1 (C)) [mm]\subseteq[/mm] C
>
>
> zu c) und e) habe ich mir folgendes überlegt:
ich beschränke mich aus Zeitgründen meinerseits auf c):
> c)
> 1. sei f(x) [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\vee[/mm]
> f(x) [mm]\in[/mm] f(B)
Nimm' es nicht als böse Kritik (die anderen Aufgaben hattest Du ja nach einem kleinen Anschubser von Fred auch mit Bravour gelöst!), aber machen wir hier direkt mal einen Cut:
Anstatt mit $f(x) [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)$ beginnst Du (zur Zeit jedenfalls) besser mit:
Sei $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup B)=\{f(x): x \in A \cup B\}\,.$ [/mm] Denn daraus folgt dann sofort, dass zu diesem [mm] $y\,$ [/mm] ein $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ existiert, so dass [mm] $y=f(x)\,.$
[/mm]
Wenn Du in solchen Aufgaben (später) ein wenig geübter bist (oder die wirkliche Logik anhand dieses Beispiels schon verstanden hast), dann kannst Du durchaus sagen:
Es sei $y=f(x) [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup B)\,,$ [/mm] also $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup B\,\ldots$
[/mm]
D.h. bei c):
[mm] $$"\subseteq"$$
[/mm]
Sei $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup B)\,,$ [/mm] dann existiert $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ mit [mm] $y=f(x)\,.$ [/mm] Im Falle $x [mm] \in [/mm] A$ ist $f(x) [mm] \in f(A)\,,$ [/mm] und falls $x [mm] \in B\,,$ [/mm] so folgt... Insgesamt also...
[mm] $$"\supseteq"$$
[/mm]
Sei $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup f(B)\,.$ [/mm] Ist $y [mm] \in f(A)\,,$ [/mm] so existiert ein $x [mm] \in [/mm] A$ mit... Wegen $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ ist dann $f(A) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm] \cup B)\,.$ [/mm] Daher $f(x)=y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm] \cup B)\,.$
[/mm]
Ist andererseits $y [mm] \in f(B)\,,$ [/mm] so existiert ein $x [mm] \in [/mm] B$ mit $y=f(x)$ und wegen $B [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ folgt...
Versuch' mal, das ganze passend zu ergänzen.
P.S.: Beachte:
Du hattest geschrieben:
> sei f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(A) $ [mm] \vee [/mm] $ f(x) $ [mm] \in [/mm] $ f(B)
Das ist zwar korrekt, aber Du unterschlägst dabei Zwischenschritte:
Aus $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)$ folgt die Existenz eines $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ mit [mm] $y=f(x)\,.$ [/mm] Dabei haben wir nun zwei (sich nicht notwendig einander ausschließende) Fälle:
1. Fall: Sei $x [mm] \in A\,.$ [/mm] Dann ist logischerweise per Definitionem von [mm] $f(A)\,$ [/mm] auch $y=f(x) [mm] \in f(A)\,,$ [/mm] und wegen $f(A) [mm] \subseteq [/mm] (f(A) [mm] \cup [/mm] f(B))$ folgt $y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cup f(B))\,.$
[/mm]
2. Fall: Sei $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Dann ist logischerweise per Definitionem von [mm] $f(B)\,$ [/mm] auch $y=f(x) [mm] \in f(B)\,,$ [/mm] und wegen $f(B) [mm] \subseteq [/mm] (f(A) [mm] \cup [/mm] f(B))$ folgt $y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cup f(B))\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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> Aufgabe
> X,Y sind Mengen A,B [mm]\subseteq[/mm] X und C,D [mm]\subseteq[/mm] Y und f:
> X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung. Bei d) und f) sollen noch bsp
> gefunden werden, die zeigen, dass nicht zwangsläufig
> Gleichheit vorliegt.
>
> e) f^-1 (C [mm]\cap[/mm] D)= f^-1 (C) [mm]\cap[/mm] f^-1 f(D)
> die Abbildung muss doch eindeutig umkehrbar sein, oder?
Hallo,
nein.
[mm] f^{-1}(Menge) [/mm] hat nichts mit "Umkehrfunktion" zu tun, sondern steht für das Urbild dieser Menge.
Schlage in Deinen Unterlagen nach, wie das definiert ist. Die Definitionen sind das A und O.
> dann kann man doch sagen:
> sei f^-1 (x) [mm] $\in$ [/mm] f^-1(C [mm] $\cap$ [/mm] D)
Da nirgendwo etwas davon steht, daß es zur Funktion f eine Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] gibt, ist der Ausdruck [mm] f^{-1}(x) [/mm] sinnlos.
Dein Beweis ist aber trotzdem nicht sooooooo übel, und er wird Dir leichtfallen, wenn Du die Definition kennst.
Beginne so:
sei [mm] y\in [/mm] f^-1 (C [mm] $\cap$ [/mm] D).
Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] ... mit f(x)=...
usw.
> dann kann man doch sagen:
> sei f^-1 (x) [mm]\in[/mm] f^-1(C [mm]\cap[/mm] D)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f^-1(x) [mm]\in[/mm] f^-1(C) [mm]\vee[/mm] f^-1(x) [mm]\in[/mm]
> f^-1(D)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f^-1(x) [mm]\in[/mm] f^-1(C) [mm]\cap[/mm] f^-1(D)
> und umgekehrt.
Zu beweisen:
> f) A [mm] $\subseteq$ [/mm] f^-1 (f(A))
Auch hier leiten Dich die Definitionen:
sei [mm] a\in [/mm] A, dann ist [mm] f(a)\in [/mm] ???, also ist [mm] a\in [/mm] ...
>und f(f^-1 (C)) [mm] $\subseteq$ [/mm] C
Sei [mm] y\in [/mm] f(f^-1 (C)).
Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] ... mit y=f(x).
Weil [mm] x\in [/mm] ... gibt es ein [mm] c\in [/mm] C mit f(x)=c.
Also ...
Zu den Gegenbeispielen für Gleichheit.
Ich bastele mir für sowas immer einfache Funktionen mit kleinen Definitions- und Zielmengen.
Nimm Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv sind und spiel ein bißchen damit.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Big_Head78 |
Danke, alles gelöst!
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