bewis für geometrisches mittel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Di 03.01.2006 | | Autor: | fidelio |
| Aufgabe | | beweisen sie, daß jedes glied [mm] a_{n} [/mm] einer geometrischen folge das geometrische mittel aus seinem vorgänger [mm] a_{n-1} [/mm] und seinem nachfolger [mm] a_{n+1} [/mm] ist. |
hallo und schönen guten abend aus österreich!
nun bin ich wieder mit mathebüchern zugestopft worden und es werfen sich leider wie der das eine oder andere problem auf. ich soll (wie in der aufgabenstellung geschrieben) einen beweis für das geometrische mittel anstellen!?
nunich kann geometrische summen rechnen und ich weiß auch über die einzelnen formeln bescheid ich weiß auch, daß eine summe von geometrischen reihen nur bei r [mm] q\ge [/mm] 1 existiert usw.
aber ich weiß nicht wie ich einen beweis anstellen soll warum das so ist!?!?!
vielleicht könnt ihr mir mit eurem wissen aushelfen und mir bei der erstellung des beweises helfen!
ich danke schon mal im voraus
lg
fidelio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Di 03.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephan!
Das geometrischer zweier Zahlen $x_$ und $y_$ berechnet sich zu: [mm] $m_g [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x*y}$
[/mm]
Und Merkmal einer geometrischen Reihe ist die Quotientenkonstanz zweier aufeinanderfolgenden Folgenglieder:
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ = \ q \ = \ konst.$
Kommst Du mit diesen Hinweisen nun etwas weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 03.01.2006 | | Autor: | fidelio |
hallo loddar,
eigentlich schon den an diese formel habe ich eigentlich auch gedacht - war mir nur nicht sicher ob das paßt:
[mm] b_{n}=\wurzel{b_{n-1}\*b_{n+1}}
[/mm]
so hätte ich die formel geschrieben wobei ich meine es kommt auf das selbe raus!
nur wie kann ich das beweisen das dies so ist??
lg
stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Di 03.01.2006 | | Autor: | Brinki |
Der Beweis ist ganz einfach:
1. Schritt: Es gilt die Quotientengleichheit. Also schreibe die beiden möglichen Quotienten auf. [mm]\bruch {a_{n+1}}{a_{n}}=q[/mm] und [mm]\bruch {a_{n}}{a_{n-1}}=q[/mm]
2. Schritt: Setzte die beiden Gleichungen gleich und löse nach [mm]{a_{n}[/mm] auf.
Fertig, denn nun sollte [mm]{a_{n}[/mm] als Wurzel aus dem Produkt [mm]a_{n+1}*{a_{n-1}[/mm] da stehen - und das ist gerade das geometrische Mittel aus dem Vor- und Nachfolgeglied.
Danke für die schöne Aufgabe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Di 03.01.2006 | | Autor: | fidelio |
....für die info und schönen abend noch
lg
fidelio
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