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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Jana85 |
Hallo liebe Forumuser,
ich komme bei einer Aufgabe in Algebra nicht weiter.
Zeigen Sie, dass das Polynom f(X) = [mm] X^{3} [/mm] [mm] 2X^{2} [/mm] + 6 irreduzibel ist. Es sei K = [mm] \IQ (\xi) [/mm] mit [mm] f(\xi) [/mm] = 0. Berechnen Sie (1 - [mm] \xi)^{-1} [/mm] bezüglich der Basis 1, [mm] \xi, \xi^{2} [/mm] von K über [mm] \IQ. [/mm] Berechnen Sie das charakteristische Polynom in [mm] K/\IQ [/mm] von 1 + [mm] \xi [/mm] und [mm] \xi^{-1}.
[/mm]
Also ich habe mir mit dem Eisensteinkriterium gedacht, da die Primzahl 2 die beiden letzten Koeffizienten teilt, aber 4 nicht [mm] a_{0}, [/mm] ist das Polynom auf jeden Fall irreduzibel.
Ich hoffe dies stimmt, nun weiß ich aber leider nicht, wie ich (1 - [mm] \xi)^{-1} [/mm] bzgl. Der obigen Basis berechnen soll, ich kann es irgendwie nicht weiter auflösen... Ich hoffe ihr habt einen guten Tipp für mich parat...
Grüße
Jana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mo 21.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Zeigen Sie, dass das Polynom f(X) = [mm]X^{3}[/mm] [mm]2X^{2}[/mm] + 6
> irreduzibel ist. Es sei K = [mm]\IQ (\xi)[/mm] mit [mm]f(\xi)[/mm] = 0.
> Berechnen Sie (1 - [mm]\xi)^{-1}[/mm] bezüglich der Basis 1, [mm]\xi, \xi^{2}[/mm]
> von K über [mm]\IQ.[/mm] Berechnen Sie das charakteristische Polynom
> in [mm]K/\IQ[/mm] von 1 + [mm]\xi[/mm] und [mm]\xi^{-1}.[/mm]
>
> Also ich habe mir mit dem Eisensteinkriterium gedacht, da
> die Primzahl 2 die beiden letzten Koeffizienten teilt, aber
> 4 nicht [mm]a_{0},[/mm] ist das Polynom auf jeden Fall irreduzibel.
das stimmt.
> Ich hoffe dies stimmt, nun weiß ich aber leider nicht, wie
> ich (1 - [mm]\xi)^{-1}[/mm] bzgl. Der obigen Basis berechnen soll,
> ich kann es irgendwie nicht weiter auflösen... Ich hoffe
> ihr habt einen guten Tipp für mich parat...
setze an $(1 - [mm] \zeta)^{-1} [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \zeta [/mm] + [mm] a_2 \zeta^2$ [/mm] und multipliziere mit $(1 - [mm] \zeta) \not= [/mm] 0$. multipliziere aus, überlege dir, wie du [mm] $\zeta^3$ [/mm] durch niedrigere [mm] $\zeta$ [/mm] potenzen ausdrücken kannst und ordne dann nach potenzen von [mm] $\zeta$. [/mm] mach dir zu nutze, dass $1, [mm] \zeta, \zeta^2$ [/mm] über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] linear unabhängig sind und du erhälst lineare gleichungen für [mm] $a_0, a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$. [/mm] die sollten zu lösen sein.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Jana85 |
Hallo, danke für den Ansatz 
Ich habe nun die Gleichung 1 = [mm] -c*\xi^{3} [/mm] + (c - [mm] b)*\xi^{2} [/mm] + (b - a) * [mm] \xi [/mm] + a
Kann ich nun daraus folgern, mit Hilfe von KOeffizientenvergleich, dass a = 1? bzw. habe ich versucht [mm] \xi^{3} [/mm] mit der Basis darzustellen, aber ich kann doch nicht kleinere Potenzen addieren (mit Linearkomb.) und dann die 3. Potenz erhalten, ich verstehe nicht, wie ich [mm] \xi^{3} [/mm] durch Linearkomb. mit den niederen Potenzen darstellen kann...
Kann mir dies jmd. erklären und mir weiterhelfen???
VIELEN DANK für alles Grüße
Jana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Do 24.01.2008 | | Autor: | Moening |
Hallo,
Der Ausgangspunkt für alle Überlegungen ist ja das Polynom f.
Schreibe doch einfach mal [mm] f(\xi)=0 [/mm] ausführlich, dann sollte es offensichtlich werden.
ich vermute du machst auch Einführung in die Algebra bei Herrn Malle in Kl?
hast du schon andere Aufgaben von dem aktuellen Blatt?
Gruß Michael
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