biholomorphe Abbildungen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Di 14.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich habe hier schon wieder eine Aufgabe, wo ich nicht weiß, wie ich vorgehen soll. Vielleicht könnte mir jemand das Vorgehen an einem der Beispiele erklären, dann versuche ich die anderen mal (vielleicht nicht unbedingt am einfachsten erklären...):
Finde biholomorphe Abbildungen für folgende Mengen (wobei z=x+iy):
- von [mm] \{z\in\IC: x>0, y>0\} [/mm] auf [mm] \{z\in\IC: y>0\},
[/mm]
- von [mm] \{z\in\IC: |z|<1, x>0, y>0\} [/mm] auf [mm] \{z\in\IC: |z|<1, y>0\},
[/mm]
- von [mm] \{z\in\IC: |z|<1, y>0\} [/mm] auf [mm] \{z\in\IC: x>0, y>0\},
[/mm]
- von [mm] \{z\in\IC: |z|<1, x>0, y>0\} [/mm] auf [mm] \{z\in\IC: y>0\},
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Do 16.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich beschreibe dir hier mal das allgemeine Vorgehen, wie man eine solche biholomorphe Abbildung konstruiert.
Man kann die Bilder dreier Punkte in [mm] $\hat{\IC}$ [/mm] unter einer linearen Transformation (einer sogenannten Möbiustransformation) beliebig vorschreiben:
Zuerst verschaffen wir uns eine Transformation, die voneinander und von [mm] $\infty$ [/mm] verschiedene gegebene Punkte [mm] $z_1, z_2,z_3$ [/mm] auf [mm] $0,1,\infty$ [/mm] abbildet, indem wir setzen:
(*) $Tz = [mm] \frac{z-z_1}{z - z_3} [/mm] : [mm] \frac{z_2 - z_1}{z_2 - z_3}$ [/mm] .
Dabei ist natürlich $T [mm] \infty [/mm] = [mm] \frac{z_2 - z_3}{z_2 - z_1}$ [/mm] zu verstehen.
Der rechts in (*) stehende Ausdruck heißt das Doppelverhältnis der vier Punkte $z, [mm] z_1,z_2,z_3$; [/mm] wir schreiben dafür auch:
[mm] $DV(z,z_1,z_2,z_3) [/mm] = [mm] \frac{z-z_1}{z-z_3} [/mm] : [mm] \frac{z_2 - z_1}{z_2 - z_3}$. [/mm]
Falls ein Punkt [mm] $z_{\nu}$ [/mm] auf [mm] $\infty$ [/mm] fällt, können wir ein $T$ mit
$T : [mm] (z_1,z_2,z_3) \mapsto (0,1,\infty)$ [/mm]
finden, indem wir in (*) den Grenzübergang [mm] $z_{\nu} \to \infty$ [/mm] vollziehen (in anderen Worten: Wir setzen [mm] $z_{\nu} [/mm] = [mm] \frac{1}{w_{\nu}}$ [/mm] in (*) ein und bilden den Grenzwert für [mm] $w_{\nu} \to [/mm] 0$).
Auch die dabei entstehenden Ausdrücke wollen wir Doppelverhältnisse nennen. Im Einzelnen ergibt sich:
[mm] $DV(z,\infty,z_2,z_3) [/mm] = [mm] \frac{z_2 - z_2}{z - z_3}$, [/mm]
[mm] $DV(z,z_1, \infty,z_3) [/mm] = [mm] \frac{z - z_1}{z - z_3}$, [/mm]
[mm] $DV(z,z_1, z_2,\infty) [/mm] = [mm] \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$. [/mm]
In jedem Fall ist $z [mm] \mapsto DV(z,z_1,z_2,z_3)$ [/mm] also diejenige lineare Transformation, die [mm] $z_1,z_2,z_3$ [/mm] auf [mm] $0,1,\infty$ [/mm] abbildet.
Wir bekommen nun den
Satz
Sind [mm] $(z_1,z_2,z_3)$ [/mm] und [mm] $(w_1,w_2,w_3)$ [/mm] zwei verschiedene Punkte von [mm] $\hat{\IC}$, [/mm] so gibt es genau eine lineare Transformation $T$ mit
$T [mm] z_{\nu} [/mm] = [mm] w_{\nu}$ [/mm] für [mm] $\nu=1,2,3$. [/mm]
Beweis:
$T_1z = [mm] DV(z,z_1,z_2,z_3)$ [/mm] und $T_2z = [mm] DV(z,w_1,w_2,w_3)$ [/mm]
bilden [mm] $(z_1,z_2,z_3)$ [/mm] bzw. [mm] $(w_1,w_2,w_3)$ [/mm] auf [mm] $(0,1,\infty)$ [/mm] ab.
Daher leistet $T= [mm] T_2^{-1} \circ T_1$ [/mm] das Verlangte.
Mit $w=Tz = [mm] T_2^{-1} \circ [/mm] T_1z$ folgt übrigens [mm] $T_2 [/mm] w = [mm] T_1 [/mm] z$, also:
(**) [mm] $DV(w,w_1,w_2,w_3) [/mm] = [mm] DV(z,z_1,z_2,z_3)$, [/mm]
und man bekommt die Formel für $w=Tz$ durch Auflösen von (**) nach $w$.
So, und wenn du jetzt ein bestimmtes Gebiet biholomorph auf ein bestimmtes anderes Gebiet abbilden willst, dann wählst du drei Punkte aus dem Abschluss des Gebietes, zwei aus dem Rand und einen aus dem Inneren, und bildest sie auf zwei aus dem Rand und einen aus dem Inneren des Bildgebietes ab (natürlich die Randpunkte auf die Randpunkte und den inneren Punkt auf den inneren Punkt). Wenn du die Punkte richtig wählst (mir ist leider kein Verfahren bekannt, mit dem man sicherstellen kann, dass das so immer funktioniert, ich überprüfe es dann immer und ändere gegebenenfalls die drei Punkte um), dann hast du so deine biholomorphe Abbildung gefunden.
Versuche es einfach mal, du musst einfach mal damit ein bisschen "rumspielen", dann klappt es schon. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 16.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für deine ausführliche Antwort.
> Man kann die Bilder dreier Punkte in [mm]\hat{\IC}[/mm] unter einer
> linearen Transformation (einer sogenannten
> Möbiustransformation) beliebig vorschreiben:
>
> Zuerst verschaffen wir uns eine Transformation, die
> voneinander und von [mm]\infty[/mm] verschiedene gegebene Punkte
> [mm]z_1, z_2,z_3[/mm] auf [mm]0,1,\infty[/mm] abbildet, indem wir setzen:
>
> (*) [mm]Tz = \frac{z-z_1}{z - z_3} : \frac{z_2 - z_1}{z_2 - z_3}[/mm]
> .
Also die [mm] z_1, z_2 [/mm] und [mm] z_3 [/mm] sind irgendwelche Punkte aus dem Definitionsbereich, ja? (also verschieden und [mm] \not=\infty), [/mm] aber ansonsten egal welche (oder kann das auch sein, dass es für irgendwelche nicht geht?) Aber ich frage mich, was dann das z ist. Wenn ich ja nämlich dann drei beliebige Punkte wähle und dann DV ausrechnen möchte, dann weiß ich nicht, was ich für z einsetzen soll - oder wie macht man das?
> Der rechts in (*) stehende Ausdruck heißt das
> Doppelverhältnis der vier Punkte [mm]z, z_1,z_2,z_3[/mm]; wir
> schreiben dafür auch:
>
> [mm]DV(z,z_1,z_2,z_3) = \frac{z-z_1}{z-z_3} : \frac{z_2 - z_1}{z_2 - z_3}[/mm].
> So, und wenn du jetzt ein bestimmtes Gebiet biholomorph auf
> ein bestimmtes anderes Gebiet abbilden willst, dann wählst
> du drei Punkte aus dem Abschluss des Gebietes, zwei aus dem
> Rand und einen aus dem Inneren, und bildest sie auf zwei
> aus dem Rand und einen aus dem Inneren des Bildgebietes ab
> (natürlich die Randpunkte auf die Randpunkte und den
> inneren Punkt auf den inneren Punkt). Wenn du die Punkte
> richtig wählst (mir ist leider kein Verfahren bekannt, mit
> dem man sicherstellen kann, dass das so immer funktioniert,
> ich überprüfe es dann immer und ändere gegebenenfalls die
> drei Punkte um), dann hast du so deine biholomorphe
> Abbildung gefunden.
>
> Versuche es einfach mal, du musst einfach mal damit ein
> bisschen "rumspielen", dann klappt es schon.
Also ich habe mir jetzt zuerst mal nur die erste Aufgabe genommen... Ich wollte es mal mit folgenden Punkten versuchen:
[mm] z_1=(1,1) [/mm] (im Innern)
[mm] z_2=(0,1)
[/mm]
[mm] z_3=(1,0)
[/mm]
Dann berechne ich [mm] T_1z=\bruch{z-(1,1)}{z-(1,0)}:\bruch{(0,1)-(1,1)}{(0,1)-(1,0)}
[/mm]
und wie kann ich jetzt weiter rechnen?
Und für w wollte ich mal nehmen:
[mm] w_1=(0,1)
[/mm]
[mm] w_2=(-1,0)
[/mm]
[mm] w_3=(1,0)
[/mm]
Und noch eine kurze Frage: warum schreibt man das Ganze nicht als Produkt mit dem Kehrbruch (falls das hier zu weit führen sollte, dann erklär's lieber nicht  ).
Ich hoffe, du kannst mir recht bald helfen, damit ich dann noch was rumprobieren kann.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Do 16.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Die gelöschten Stellen waren schwachsinnig.
Liebe Christiane!
> > > (*) [mm]Tz = \frac{z-z_1}{z - z_3} : \frac{z_2 - z_1}{z_2 - z_3}[/mm]
> > .
>
> Also die [mm]z_1, z_2[/mm] und [mm]z_3[/mm] sind irgendwelche Punkte aus dem
> Definitionsbereich, ja? (also verschieden und [mm]\not=\infty),[/mm]
> aber ansonsten egal welche (oder kann das auch sein, dass
> es für irgendwelche nicht geht?)
Eigentlich nicht.
> Aber ich frage mich, was
> dann das z ist. Wenn ich ja nämlich dann drei beliebige
> Punkte wähle und dann DV ausrechnen möchte, dann weiß ich
> nicht, was ich für z einsetzen soll - oder wie macht man
> das?
Naja, es soll ja eine Abbildung sein, deswegen brauchen wir ja auch eine Variable. Ich verstehe jetzt die Frage nicht ganz...
> Und noch eine kurze Frage: warum schreibt man das Ganze
> nicht als Produkt mit dem Kehrbruch (falls das hier zu weit
> führen sollte, dann erklär's lieber nicht ).
Dies hängt damit zusammen, dass man so den Zusammenhang zur Projektiven Geometrie besser erkennen kann.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 16.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> > Aber ich frage mich, was
> > dann das z ist. Wenn ich ja nämlich dann drei beliebige
> > Punkte wähle und dann DV ausrechnen möchte, dann weiß ich
> > nicht, was ich für z einsetzen soll - oder wie macht man
> > das?
>
> Naja, es soll ja eine Abbildung sein, deswegen brauchen wir
> ja auch eine Variable. Ich verstehe jetzt die Frage nicht
> ganz...
Ja, das hatte ich zwischendurch auch mal gedacht, aber ich wusste trotzdem nicht, wie ich nachher rechnen soll und wusste dann nicht, wie ich es anders schreiben soll. Mir fehlte halt, dass ich z=x+iy schreiben sollte...
> > Also ich habe mir jetzt zuerst mal nur die erste Aufgabe
> > genommen... Ich wollte es mal mit folgenden Punkten
> > versuchen:
> > [mm]z_1=(1,1)[/mm] (im Innern)
> > [mm]z_2=(0,1)[/mm]
> > [mm]z_3=(1,0)[/mm]
> > Dann berechne ich
> >
> [mm]T_1z=\bruch{z-(1,1)}{z-(1,0)}:\bruch{(0,1)-(1,1)}{(0,1)-(1,0)}[/mm]
> > und wie kann ich jetzt weiter rechnen?
> >
> > Und für w wollte ich mal nehmen:
> > [mm]w_1=(0,1)[/mm]
> > [mm]w_2=(-1,0)[/mm]
> > [mm]w_3=(1,0)[/mm]
>
> Das könnte funktionieren. Du musst sie nur als komplexe
> Zahlen schreiben, also etwa:
>
> [mm]z_1=1+i[/mm], [mm]z_2=i[/mm], [mm]z_3=1[/mm], etc.
>
> Also: Diese komplexen Zahlen einsetzen, das gleiche mit den
> [mm]w[/mm]'s machen, dann die Komposition der beiden Abbildungen
> bilden und weiter zusammenfassen.
Also, ich hab jetzt [mm] T_{1}z [/mm] und [mm] T_2z=\bruch{x+i(y-1)}{(x-1)+iy}*\bruch{2}{1+i} [/mm] berechnet. Allerdings brauche ich doch jetzt [mm] T_2^{-1}, [/mm] wenn ich das richtig verstehe, und [mm] T=T_2^{-1}° T_1 [/mm] ist dann meine Abbildung, oder? Aber wie komme ich denn jetzt auf [mm] T_2^{-1}? [/mm] Nach was muss ich da auflösen? Oder muss ich das z als z stehen lassen und dann danach auflösen? Ich fürchte fast, ja...
> > Und noch eine kurze Frage: warum schreibt man das Ganze
> > nicht als Produkt mit dem Kehrbruch (falls das hier zu weit
> > führen sollte, dann erklär's lieber nicht ).
>
> Dies hängt damit zusammen, dass man so den Zusammenhang zur
> Projektiven Geometrie besser erkennen kann.
Ok - aber rechnen darf man es trotzdem ganz normal, also mit dem Kehrbruch multiplizieren, ja?
So, ich hatte übrigens auch noch ein bisschen was vergessen bei der Aufgabenstellung:
Wie lauten die Umkehrabbildungen? Was ist das Bild der Ränder?
Also, für die Umkehrabbildungen müsste ich doch dann so rechnen, wie auch für [mm] T_2^{-1} [/mm] oder? Und das Bild der Ränder? Kann ich da den Rand irgendwie einfach einsetzen? Aber eigentlich sind die Ränder doch gar nicht im Definitions- bzw. Wertebereich, oder?
Leider bin ich jetzt gleich erstmal weg und weiß nicht, wieviel Zeit ich heut nachmittag noch habe, weil ich heute abend auch noch was vor habe. (aber spätestens um 9 denke ich, werde ich mich wieder an Mathe setzen ). Ich hoffe, ich habe jetzt erstmal alle Fragen gestellt, sodass ich dann nachher nochmal was rechnen kann. Aber falls du morgen wiedermal früh auf der Arbeit bist - ob du vielleicht nochmal kurz über die Aufgaben drüber gucken könntest? (falls ich hoffentlich noch was hinbekomme). Allerdings müsste das dann vor halb acht sein...
Viele Grüße
Christiane
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Do 16.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Wie peinlich für mich!
Mir ist auf dem Nachhauseweg erstens aufgefallen, dass mein Weg hier (für das erste Beispiel!) völlig falsch war, weil dann nicht Geraden auf Geraden und Kreise auf Kreise abgebildet worden wären (ich habe also in der Tat die Winkeltreue nicht beachtet, was ich mir schon dachte), dass es zweitens gar nicht notwendig ist Möbius-Transformationen zu wählen (schließlich sollen die Abbildungen nicht global biholomorph sein) und dass drittens die Aufgabe trivial ist.
Ich werde meine alten Antworten zum Teil löschen, tut mir leid, aber das ist mit zu peinlich.
> - von [mm]\{z\in\IC: x>0, y>0\}[/mm] auf [mm]\{z\in\IC: y>0\},[/mm]
Hier geht natürlich die Abbidlung $z [mm] \mapsto z^2$.
[/mm]
> - von
> [mm]\{z\in\IC: |z|<1, x>0, y>0\}[/mm] auf [mm]\{z\in\IC: |z|<1, y>0\},[/mm]
Hier ebenfalls.
> - von [mm]\{z\in\IC: |z|<1, y>0\}[/mm] auf [mm]\{z\in\IC: x>0, y>0\},[/mm]
Hier ist es in der Tat eine Möbius-Transformation, aber eine einfache:
$z [mm] \mapsto -\frac{z+1}{z-1}$.
[/mm]
> -
> von [mm]\{z\in\IC: |z|<1, x>0, y>0\}[/mm] auf [mm]\{z\in\IC: y>0\},[/mm]
Hier musst du doch nur die ersten drei Abbildungen (in der richtigen Reihenfolge ) hintereinanderschalten.
Oh, oh, oh... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Die Beweise, dass das alles injektiv und surjektiv ist, überlasse ich dir, ist aber nicht schwierig.
Liebe Grüße
Stefan
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