bijektiv und stetig < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mi 04.05.2005 | | Autor: | jeff |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hallo
ich habe da mal eine Frage,
ich überlege die ganze Zeit, wie mann zeigen kann, dass die stereographisce Projektion
f: [mm] S^2 \mapsto [/mm] C [mm] \cup [/mm] (unendlich) (x1+ix2)/(1-x3)
bijektiv und stetig ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo jeff!
Die Stetigkeit scheint mir klar zu sein (wo liegt hier dein Problem?).
Interessanter ist sicherlich die Bijektivität. Aber hier kann man ganz einfach die Umkehrabbildung angeben. Aus
$z = [mm] \frac{x_1 + ix_2}{1-x_3}$
[/mm]
folgt:
[mm] $|z|^2 [/mm] = [mm] \frac{x_1^2+x_2^2}{(1-x_3)^2} [/mm] = [mm] \frac{1-x_3^2}{(1-x_3)^2} [/mm] = [mm] \frac{1+x_3}{1-x_3}$,
[/mm]
und daraus:
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}$.
[/mm]
Damit wiederum berechnet man dann:
[mm] $x_1= \frac{z + \bar{z}}{1+|z|^2}$
[/mm]
und
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] \frac{z-\bar{z}}{i(1+|z|^2)}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 So 08.05.2005 | | Autor: | jeff |
Hallo Stefan
auf die Idee mit der Umkehrfunktion wäre ich gar nicht gekommen, aber jetzt ist alles klarr.
Vielen Dank noch mal
Jeff
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