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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mo 01.04.2013 | | Autor: | wahid |
| Aufgabe | f: [mm] \IN [/mm] → [mm] (\IN [/mm] X [mm] \IN) [/mm] mit f(n) = (n, n+1)
Ist diese Funktion bijektiv surjektiv oder injektiv? |
Hallo,
bei der o.g. Aufgabenstellung habe ich Schwierigkeiten zu bestimmen ob die Funktion bijektiv, injektiv oder surjektiv ist.
Wir betrachten den Definitionsbereich der natürlichen Zahlen (ohne die Null)
Ich komme nicht mit f(n) = (n, n+1) ganz klar.
Für f(x)=x würde ich sagen dass die Funktion bijektiv ist, weil jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird (surjektiv) und auch höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird (injektiv), somit ist die Funktion bijektiv.
Ich würde mich über Tips freuen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mo 01.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> f: [mm]\IN[/mm] → [mm](\IN[/mm] X [mm]\IN)[/mm] mit f(n) = (n, n+1)
> Ist diese Funktion bijektiv surjektiv oder injektiv?
> Hallo,
>
> bei der o.g. Aufgabenstellung habe ich Schwierigkeiten zu
> bestimmen ob die Funktion bijektiv, injektiv oder surjektiv
> ist.
>
> Wir betrachten den Definitionsbereich der natürlichen
> Zahlen (ohne die Null)
>
> Ich komme nicht mit f(n) = (n, n+1) ganz klar.
f ordnet der natürlichen Zahl n das Paar (n, n+1) [mm] \in \IN \times \IN [/mm] zu.
Beispiel: f(23)=(23,24)
FRED
>
> Für f(x)=x würde ich sagen dass die Funktion bijektiv
> ist, weil jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als
> Funktionswert angenommen wird (surjektiv) und auch
> höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird
> (injektiv), somit ist die Funktion bijektiv.
>
> Ich würde mich über Tips freuen :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mo 01.04.2013 | | Autor: | wahid |
Ich möchte mich bei Ihnen für Ihre Antwort bedanken.
Wir betrachten also für f(n) = (n, n+1) die Zahlenpaare [(1,2);(2,3);(3,4)...]
diese Zahlenpaare sind [mm] \in \IN [/mm] X [mm] \IN.
[/mm]
Dann ist die o.g. Funktion bijektiv? Ich hoffe ich liege richtig :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich möchte mich bei Ihnen für Ihre Antwort bedanken.
Du darfst uns alle duzen - erfahrungsgemäß auch Fred. 
> Wir betrachten also für f(n) = (n, n+1) die Zahlenpaare
> [(1,2);(2,3);(3,4)...]
> diese Zahlenpaare sind [mm]\in \IN[/mm] X [mm]\IN.[/mm]
>
> Dann ist die o.g. Funktion bijektiv? Ich hoffe ich liege
> richtig :D
Nein, so "begründest" Du doch nur [mm] $f(\IN) \subseteq \IN \times \IN\,$ [/mm] (und das noch nicht
mal wirklich sauber, aber es ist schon okay): Und das muss auch sein, "sonst
wäre [mm] $f\,$ [/mm] 'schlecht definiert'!"
Du hast weder die Injektivität begründet (obiges [mm] $f\,$ [/mm] IST injektiv) - noch
die Surjektivität widerlegt (obiges [mm] $f\,$ [/mm] IST NICHT surjektiv). Dazu kannst Du
meine andere Antwort durchlesen. Wir können aber auch hier erstmal
schrittweise das ganze angehen:
Man kann die Surjektivität Deiner Funktion $f [mm] \colon \IN \to \IN \times \IN$ [/mm] mit obiger
Überlegung schon angehen:
Vergleiche mal [mm] $\IN \times \IN$ [/mm] mit [mm] $f(\IN)=\{(1,2);(2,3);(3,4);(4,5);...\}\,.$
[/mm]
Sind diese Mengen gleich? Wenn dem so wäre, was würde das für [mm] $f\,$ [/mm] bedeuten?
Da dem aber nicht so ist: Was bedeutet das nun?
P.S.: Dieser "Mengenvergleich" hilt nur bzgl. der Surjektivität - nicht bzgl.
Injektivität:
[mm] $g\colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann surjektiv, wenn [mm] $g(X)=Y\,$ [/mm] (und weil $g(X) [mm] \subseteq [/mm] Y$ immer gelten
muss, kann man dabei auch in äquivalenter Weise "..., wenn $Y [mm] \subseteq g(X)\,$" [/mm] schreiben).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mo 01.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Ich möchte mich bei Ihnen für Ihre Antwort bedanken.
>
> Du darfst uns alle duzen - erfahrungsgemäß auch Fred.
....... wie wahr .......
fred
>
>
> > Wir betrachten also für f(n) = (n, n+1) die Zahlenpaare
> > [(1,2);(2,3);(3,4)...]
> > diese Zahlenpaare sind [mm]\in \IN[/mm] X [mm]\IN.[/mm]
> >
> > Dann ist die o.g. Funktion bijektiv? Ich hoffe ich liege
> > richtig :D
>
> Nein, so "begründest" Du doch nur [mm]f(\IN) \subseteq \IN \times \IN\,[/mm]
> (und das noch nicht
> mal wirklich sauber, aber es ist schon okay): Und das muss
> auch sein, "sonst
> wäre [mm]f\,[/mm] 'schlecht definiert'!"
> Du hast weder die Injektivität begründet (obiges [mm]f\,[/mm] IST
> injektiv) - noch
> die Surjektivität widerlegt (obiges [mm]f\,[/mm] IST NICHT
> surjektiv). Dazu kannst Du
> meine andere Antwort durchlesen. Wir können aber auch hier
> erstmal
> schrittweise das ganze angehen:
> Man kann die Surjektivität Deiner Funktion [mm]f \colon \IN \to \IN \times \IN[/mm]
> mit obiger
> Überlegung schon angehen:
>
> Vergleiche mal [mm]\IN \times \IN[/mm] mit
> [mm]f(\IN)=\{(1,2);(2,3);(3,4);(4,5);...\}\,.[/mm]
>
> Sind diese Mengen gleich? Wenn dem so wäre, was würde das
> für [mm]f\,[/mm] bedeuten?
> Da dem aber nicht so ist: Was bedeutet das nun?
>
> P.S.: Dieser "Mengenvergleich" hilt nur bzgl. der
> Surjektivität - nicht bzgl.
> Injektivität:
> [mm]g\colon X \to Y[/mm] ist genau dann surjektiv, wenn [mm]g(X)=Y\,[/mm]
> (und weil [mm]g(X) \subseteq Y[/mm] immer gelten
> muss, kann man dabei auch in äquivalenter Weise "..., wenn
> [mm]Y \subseteq g(X)\,[/mm]" schreiben).
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f: [mm]\IN[/mm] → [mm](\IN[/mm] X [mm]\IN)[/mm] mit f(n) = (n, n+1)
> Ist diese Funktion bijektiv surjektiv oder injektiv?
> Hallo,
>
> bei der o.g. Aufgabenstellung habe ich Schwierigkeiten zu
> bestimmen ob die Funktion bijektiv, injektiv oder surjektiv
> ist.
>
> Wir betrachten den Definitionsbereich der natürlichen
> Zahlen (ohne die Null)
>
> Ich komme nicht mit f(n) = (n, n+1) ganz klar.
>
> Für f(x)=x würde ich sagen dass die Funktion bijektiv
> ist, weil jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als
> Funktionswert angenommen wird (surjektiv) und auch
> höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird
> (injektiv), somit ist die Funktion bijektiv.
>
> Ich würde mich über Tips freuen :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
zur Injkektivität: Zeige: Für alle $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $f(m)=f(n)\,$ [/mm] folgt schon,
dass [mm] $m=n\,$ [/mm] sein muss.
(Das ist sehr leicht: Aus $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $f(m)=f(n)\,$ [/mm] folgt ja in [mm] $\IN \times \IN$ [/mm] die Gleichheit
[mm] $$(m,m+1)=(n,n+1)\,.$$
[/mm]
Was liefert also der Komponentenvergleich?)
Zur Surjektivität: Es ist ja eigentlich klar, dass [mm] $f\,$ [/mm] nur solche Paare [mm] $(a,b\,)$ [/mm]
"erwischt", für die [mm] $b=a+1\,$ [/mm] gilt (neben $a [mm] \in \IN$).
[/mm]
Eine Funktion $g [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann surjektiv, wenn es für alle $y [mm] \in [/mm] Y$
ein $x [mm] \in [/mm] X$ gibt, so dass [mm] $g(x)=y\,.$ [/mm] Das bedeutet auch:
Genau dann ist [mm] $g\,$ [/mm] NICHT surjektiv, wenn es ein [mm] $y_0 \in [/mm] Y$ so, dass es kein $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] g(x)=y_0\,$ [/mm] gibt.
Das bedeutet: Du kannst ein KONKRETES [mm] $y_0 \in \IN \times \IN$ [/mm] angeben, für
welches Du beweist, dass es kein $x [mm] \in \IN$ [/mm] geben kann mit [mm] $f(x)=y_0\,.$
[/mm]
(Wie beweist man sowas? Etwa: Man nimmt es, es gäbe doch ein [mm] $x_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=y_0$...)
[/mm]
KONKRET heißt wirklich: [mm] $y_0=(m_0,n_0)\,$ [/mm] mit bestimmten Zahlen [mm] $m_0,n_0 \in \IN\,.$
[/mm]
Tipp: Nimm' etwa ein bestimmtes [mm] $m_0$ [/mm] und betrachte dann passend dazu [mm] $n_0:=m_0+2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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