bijektivität < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Sa 23.05.2009 | | Autor: | quade521 |
Weshalb ist die lineare abbildung einer invertierbaren matrix bijektiv? hängt es damit zusammen, dass man asu der abbildung die ursprüngliche abbildung wieder rekonstruieren kann ? aber weshalb muss die matrix dazu invertierbar sein. Sind Matrixen die aus spalten linear abhängiger vektoren bestehen nie invertierbar?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Weshalb ist die lineare abbildung einer invertierbaren
> matrix bijektiv?
Bevor du meine Erklärung gleich liest, solltest du dir vielleicht nochmal vor Augen halten, was Bijektivität bedeutet, also wie ihr das definiert habt. Also was ich damit meine ist, weißt du was Umkehrabbildungen sind? Wenn nicht, wirst du Probleme haben, meine Erklärung zu verstehen.
Eine Abbildung f: [mm] A\rightarrow [/mm] B ist bijektiv, wenn:
[mm] (g\circ f)=Id_A [/mm] und [mm] (f\circ g)=Id_B [/mm] gilt.
In diesem Fall, ist [mm] g:B\rightarrow [/mm] A die Umkehrabbildung und wird häufig als [mm] f^{-1} [/mm] geschrieben.
Was Id ist, erkläre ich weiter unten.
Du hast jetzt eine Abbildung, die durch eine invertierbare Matrix beschrieben wird (habe ich das richtig verstanden?). Dann kannst du doch sicher deren Umkehrabbildung durch die Inverse Matrix beschreiben.
Wenn nun f diese Abbildung ist, für die gilt: f(x)=Ax, wobei A die invertierbare Matrix sein soll, dann gibt es eine Abbildung [mm] g(x)=A^{-1}(x).
[/mm]
Jetzt betrachten wir mal:
[mm] (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(Ax)=A^{-1}A(x)=E_nx=x [/mm] und [mm] E_n [/mm] ist die Einheitsmatrix. Genauso geht es, wenn du [mm] f\circ [/mm] g betrachtest. Also ist g die Umkehrabbildung von f. f ist damit bijektiv.
>hängt es damit zusammen, dass man asu der
> abbildung die ursprüngliche abbildung wieder rekonstruieren
> kann ?
Es hängt also damit zusammen, dass eine solche Abbildung immer eine Umkehrabbildung besitzt (und dazu muss die Abbildung selbst ja bijektiv sein).
Was meintest du mit "ursprünglicher Abbildung"?
> aber weshalb muss die matrix dazu invertierbar sein.
Weil eben genau [mm] f\circ [/mm] g und g?circ f die Identität ergeben müssen, d.h. ausführlich gesagt, wenn man die Abbildung und deren Umkehrabbildung hintereinanderschaltet und vorher ein x "reinsteckt" wird am Ende genau dieses x als Bild herauskommen.
> Sind Matrixen die aus spalten linear abhängiger vektoren
> bestehen nie invertierbar?
Also zunächst mal sind sowieso nur quadratische (also [mm] n\times [/mm] n) Matrizen überhaupt invertierbar (Warum?).
Und dann hast du quasi recht. Der Rang (also im Falle der Matrizen die Anzahl der linear [mm] \underline{un}abhaengigen [/mm] Zeilen oder Spalten) muss gleich n sein, d.h. wenn du bei einer quadratischen Matrix abhängige Spalten/Zeilen hast, so ist diese nicht invertierbar.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß Sleeper
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