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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - bijektivität/kompl.diff'bar
bijektivität/kompl.diff'bar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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bijektivität/kompl.diff'bar: Tipp,korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Sa 07.05.2022
Autor: nkln

Aufgabe
Aufgabenstellung: Es seien $U,V [mm] \subset \mathbb{C} [/mm] $ offen und $f: U [mm] \to [/mm] V$ surjektiv sowie in jedem Punkt [mm] $z_0 \in [/mm] U$ komplex differenzierbar.Weiter gebe es ein reelles $k>0$ derart,dass [mm] \\ [/mm]
                    [mm] $|f(z)-f(w)|\ge [/mm] k [mm] \cdot [/mm] |z-w|$ für alle $z,w [mm] \in [/mm] U $ [mm] \\ [/mm]
Zeigen sie: $f$ ist bijektiv und [mm] $f^{-1}$ [/mm] in jedem Punkt [mm] $\tilde [/mm] z [mm] \in [/mm] V $ komplex differenzierbar.

Zunächst  soll bewiesen werden, dass f ist bijektiv. Dies gilt indem man zeigt, dass f sowohl surjektiv als auch Injektiv [mm] ist.\\ [/mm]
Die Subjektivität von f ist laut Aufgabenstellung schon [mm] gegeben.\\ [/mm] Folglich ist nur die Injektivität zu zeigen. Für die Injektivität muss gelten [mm] \\ $f(x_2)=f(x_1) \Rightarrow x_2=x_1 \forall x_2,x_1 \in V$\\ [/mm]
Benutzt man nun die in der Aufgabenstellung gegeben Ungleichung und sei [mm] $f(x_2)=f(x_1)$ [/mm] erhält [mm] man\\ [/mm]
[mm] $|f(x_2)-f(x_1)|\ge [/mm] k [mm] \cdot |x_2-x_1|$, [/mm] da [mm] $f(x_2)=f(x_1)$ [/mm] gilt [mm] \\ [/mm]

[mm] $0\ge [/mm] k [mm] \cdot |x_2-x_1|$, [/mm] da laut Aufgabenstellung $k>0$ und [mm] $|x_2-x_1|\ge [/mm] 0$, muss gelten,dass [mm] $|x_2-x_1|=0$ [/mm] und dies gilt nur falls [mm] $x_2=x_1$ [/mm] ist. Folglich ist f injektiv und letztendlich ist f [mm] bijektiv.\\ [/mm]

Nun ist zu zeigen,dass [mm] $f^{-1}$ [/mm] in jedem Punkt [mm] $\tilde [/mm] z [mm] \in [/mm] V $komplex [mm] differenzierbar.\\ [/mm]

Dazu gilt laut [mm] Skript:\\ [/mm]
Sei$ U [mm] \in \mathbb{C}$ offen,$z_0 \in [/mm] U ,f: U [mm] \to \mathbb{C}$ [/mm] eine Funktion
f ist komplex diff'bar in [mm] $z_0 \Leftrightarrow \lim_{z \to \z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ [/mm] existiert,d.h es gibt ein [mm] $w\in \mathbb{C}$,sodass [/mm] für jede Folge [mm] $(z_n)_{n\ge1} \in U\setminus \{z_0\}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n \to \infty} z_n [/mm] = [mm] z_0$ [/mm] gilt  [mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} [/mm] = w$ [mm] \\ [/mm]

Sei nun in unserem Fall eine Folge [mm] $(z_n)_{n\ge1} \in [/mm] U [mm] \setminus \{z_0\}$, [/mm] da wir zunächst $f: [mm] U\to [/mm] V$ betrachten. Da f bijektiv ist gilt [mm] $\forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists! [/mm] v [mm] \in [/mm] V, f(v)=u $ .

Ab hier komme ich leider nicht weiter

        
Bezug
bijektivität/kompl.diff'bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Sa 07.05.2022
Autor: fred97


> Aufgabenstellung: Es seien [mm]U,V \subset \mathbb{C}[/mm] offen und
> [mm]f: U \to V[/mm] surjektiv sowie in jedem Punkt [mm]z_0 \in U[/mm] komplex
> differenzierbar.Weiter gebe es ein reelles [mm]k>0[/mm] derart,dass
> [mm]\\[/mm]
>                      [mm]|f(z)-f(w)|\ge k \cdot |z-w|[/mm] für alle
> [mm]z,w \in U[/mm] [mm]\\[/mm]
>  Zeigen sie: [mm]f[/mm] ist bijektiv und [mm]f^{-1}[/mm] in jedem Punkt
> [mm]\tilde z \in V[/mm] komplex differenzierbar.
>  Zunächst  soll bewiesen werden, dass f ist bijektiv. Dies
> gilt indem man zeigt, dass f sowohl surjektiv als auch
> Injektiv [mm]ist.\\[/mm]
>  Die Subjektivität von f ist laut Aufgabenstellung schon
> [mm]gegeben.\\[/mm] Folglich ist nur die Injektivität zu zeigen.
> Für die Injektivität muss gelten [mm]\\[/mm]  [mm]f(x_2)=f(x_1) \Rightarrow x_2=x_1 \forall x_2,x_1 \in V[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> Benutzt man nun die in der Aufgabenstellung gegeben
> Ungleichung und sei [mm]f(x_2)=f(x_1)[/mm] erhält [mm]man\\[/mm]
>   [mm]|f(x_2)-f(x_1)|\ge k \cdot |x_2-x_1|[/mm], da [mm]f(x_2)=f(x_1)[/mm]
> gilt [mm]\\[/mm]
>  
> [mm]0\ge k \cdot |x_2-x_1|[/mm], da laut Aufgabenstellung [mm]k>0[/mm] und
> [mm]|x_2-x_1|\ge 0[/mm], muss gelten,dass [mm]|x_2-x_1|=0[/mm] und dies gilt
> nur falls [mm]x_2=x_1[/mm] ist. Folglich ist f injektiv und
> letztendlich ist f [mm]bijektiv.\\[/mm]
>  
> Nun ist zu zeigen,dass [mm]f^{-1}[/mm] in jedem Punkt [mm]\tilde z \in V [/mm]komplex
> [mm]differenzierbar.\\[/mm]
>  
> Dazu gilt laut [mm]Skript:\\[/mm]
>  Sei[mm] U \in \mathbb{C}[/mm] offen,[mm]z_0 \in U ,f: U \to \mathbb{C}[/mm]
> eine Funktion
>  f ist komplex diff'bar in [mm]z_0 \Leftrightarrow \lim_{z \to \z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> existiert,d.h es gibt ein [mm]w\in \mathbb{C}[/mm],sodass für jede
> Folge [mm](z_n)_{n\ge1} \in U\setminus \{z_0\}[/mm] mit [mm]\lim_{n \to \infty} z_n = z_0[/mm]
> gilt  [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = w[/mm] [mm]\\[/mm]
>  
> Sei nun in unserem Fall eine Folge [mm](z_n)_{n\ge1} \in U \setminus \{z_0\}[/mm],
> da wir zunächst [mm]f: U\to V[/mm] betrachten. Da f bijektiv ist
> gilt [mm]\forall u \in U \exists! v \in V, f(v)=u[/mm] .
>  
> Ab hier komme ich leider nicht weiter


Kein Wunder.  Ohne den Differenzenquotienten der Umkehrfunktion wird man nicht weiterkommen

Bezug
                
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bijektivität/kompl.diff'bar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Sa 07.05.2022
Autor: nkln

Also meinst du zwei zahlen [mm] $z_2,z_1 \in \mathbb{C}$. [/mm] Dann im Differenzenquotienten

[mm] $\frac{f^{-1}(z_2)-f^{-1}(z_1)}{z_1-z_2}$ [/mm] aber wie bekomme ich nun die [mm] f^{-1}(z_2),f^{-1}(z_1) [/mm] raus bzw. was deren Funktionswerte sind?
Ich steh mega auf dem schlauch

Bezug
                        
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bijektivität/kompl.diff'bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Sa 07.05.2022
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du solltest dir erst mal eine saubere(re) Notation angewöhnen.
Deine Funktionen leben ja auf den Räumen $f:U [mm] \to [/mm] V$ bzw [mm] $f^{-1}: [/mm] V [mm] \to [/mm] U$, d.h. es macht gar keinen Sinn von allgemeinen [mm] $z_1,z_2 \in \IC$ [/mm] zu reden.

Vorab hast du von der Differenzierbarkeit im Punkt [mm] $z_0$ [/mm] geschrieben, da wir jetzt auf den Räumen $U$ bzw. $V$ arbeiten, solltest du dann auch (je nachdem, ob du von $f$ oder [mm] $f^{-1}$ [/mm] redest) auch [mm] $u_0$ [/mm] und [mm] $v_0$ [/mm] verwenden.

Deine Differenzierbarkeit von [mm] $f^{-1}$ [/mm] bekommt dann also die Form:

[mm] $\lim_{v \to v_0} \frac{f^{-1}(v) - f^{-1}(v_0)}{v - v_0}$ [/mm]

Und jetzt hast du ja schon die Bijektivität selbst angesprochen.
Wie kannst du obiges jetzt mit Hilfe von $f$ ausdrücken? Dann kommen da natürlich $u$'s statt $v$'s drin vor und du wirst sicherlich auch brauchen, dass f differenzierbar ist… und du solltest erkennen, dass du $f'(z) [mm] \not= [/mm] 0$ benötigst und begründen, warum das gilt.

Gruß,
Gono



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bijektivität/kompl.diff'bar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 So 08.05.2022
Autor: nkln

Hi Gono erstmal vielen Dank für deine Hilfe!

Ein Kommilitone hat meiner Abgabegruppe folgenden Lösungsansatz geschickt, den ich leider nicht verstehe :

Sei nun $( [mm] \hat z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] eine gegen [mm] $\hat [/mm] z$ konvergent Folge in $V [mm] \setminus \{\hat z \}$. [/mm] Dann folgert er, dass durch die bijektivität von $f$ ,existieren komplexe zahlen [mm] $z_n$ [/mm] und $ z$ für $n [mm] \in \mathb{N}$ [/mm] mit [mm] $\hat z_n [/mm] = f( [mm] z_n) \forall n\in \mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $\hat [/mm] z = f(z)$.

Zwischenfrage von mir:  Also die Idee ist hier man nimmt sich hier eine Folge von komplexe zahlen und eine "simple" komplexe zahl. Durch die Bijektivität gilt [mm] $\hat z_n [/mm] = f( [mm] z_n)$ [/mm] und [mm] $\hat [/mm] z = f(z)$. Also [mm] $\hat z_1 [/mm] = f( [mm] z_1),\hat z_2 [/mm] = f( [mm] z_2),...,\hat z_n [/mm] = f( [mm] z_n) [/mm] $  und [mm] $\hat [/mm] z = f(z)$,oder?


Jetzt  setzt der Kommilitone die komplexe zahlen  [mm] $z_n$ [/mm] und $ z$ für $n [mm] \in \mathb{N}$ [/mm]  in die Ungleichung ein

[mm] $|z_n-z|\le \frac{1}{k}|f(z_n)-f(z)|=\frac{1}{k}|\hat z_n-\hat z|\overbrace{\to}^{n \to \infty} [/mm] 0$ folglich konvergiert die Folge [mm] $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] gegen $z$.

nächste Zwischenfrage
habe ich es richtig verstanden, dass man über die Folge $( [mm] \hat z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] ,die  gegen [mm] $\hat [/mm] z$ konvergiert, nun festgestellt hat, dass die folge [mm] $z_n$ [/mm] gegen $z$ konvergiert? und wieso braucht man dies hier?

mit dieser Erkenntnis kann man doch den Differenzenquotienten aufstellen

$ [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{f^{-1}(\hat z_n) - f^{-1}(\hat z)}{\hat z_n - \hat z}= \frac{z_n - z}{f(z_n) - f(z)}=(\frac{f(z_n) - f(z)}{z_n - z})^{-1} \overbrace{\to}^{n \to \infty} \frac{1}{f'(z)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(\hat z))} [/mm] $

das gilt ,weil  [mm] $f^{-1}(\hat z_n)=z_n$ [/mm]  und [mm] $f^{-1}(\hat [/mm] z)= z$ und [mm] $\hat z_n [/mm] = f( [mm] z_n)$ [/mm] und [mm] $\hat [/mm] z = f(z)$

Wieso gilt jetzt [mm] $(\frac{f(z_n) - f(z)}{z_n - z})^{-1} \overbrace{\to}^{n \to \infty} \frac{1}{f'(z)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(\hat z))} [/mm] $ .

ich meine ist $ [mm] \lim_{n \to \infty}(\frac{f(z_n) - f(z)}{z_n - z})^{-1}=0$,da$(z_n)$ [/mm] gegen $f(z)$ geht und [mm] $z_n$ [/mm] gegen $z$ geht?


Bezug
                                        
Bezug
bijektivität/kompl.diff'bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 So 08.05.2022
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ein Kommilitone hat meiner Abgabegruppe folgenden
> Lösungsansatz geschickt, den ich leider nicht verstehe :

Auf den Lösungsansatz hättest du selbst kommen sollen mit den Hinweisen…

Du solltest dich erst mal entscheiden, welche Definition des Differenzenquotienten du verwenden möchtest.

Nochmal: Du solltest dir mal angewöhnen komplexe Zahlen aus $V$ mit $v$ und aus $U$ mit $u$ zu bezeichnen. Dann liest dich das ganze viel besser als mit [mm] $\hat{z}$ [/mm] und $z$.

Dann:

> Zwischenfrage von mir:  Also die Idee ist hier man nimmt
> sich hier eine Folge von komplexe zahlen und eine "simple"
> komplexe zahl.

Die "nimmt" man sich nicht, sondern die kommen aus der Definition des Differenzenquotienten von [mm] $f^{-1}$. [/mm]
Dann: Das sind nicht beliebige "komplexe zahlen", sondern solche aus $V$.

> Durch die Bijektivität gilt [mm]\hat z_n = f( z_n)[/mm]
> und [mm]\hat z = f(z)[/mm]. Also [mm]\hat z_1 = f( z_1),\hat z_2 = f( z_2),...,\hat z_n = f( z_n)[/mm]
>  und [mm]\hat z = f(z)[/mm],oder?

Die Bijektivität sichert dir die Existenz solcher [mm] $z_i,z \in [/mm] U$!

> Jetzt  setzt der Kommilitone die komplexe zahlen  [mm]z_n[/mm] und [mm]z[/mm]
> für [mm]n \in \mathb{N}[/mm]  in die Ungleichung ein
>  
> [mm]|z_n-z|\le \frac{1}{k}|f(z_n)-f(z)|=\frac{1}{k}|\hat z_n-\hat z|\overbrace{\to}^{n \to \infty} 0[/mm]
> folglich konvergiert die Folge [mm](z_n)_{n \in \mathbb{N}}[/mm]
> gegen [mm]z[/mm].
>  
> nächste Zwischenfrage
>   habe ich es richtig verstanden, dass man über die Folge
> [mm]( \hat z_n)_{n \in \mathbb{N}}[/mm] ,die  gegen [mm]\hat z[/mm]
> konvergiert, nun festgestellt hat, dass die folge [mm]z_n[/mm] gegen
> [mm]z[/mm] konvergiert? und wieso braucht man dies hier?

Ja, da müsste man jetzt mal schauen, wie denn so der Differenzenquotient definiert ist…
Einmal für [mm] $f^{-1}$ [/mm] und einmal für $f$, den man ja verwenden will.

> mit dieser Erkenntnis kann man doch den
> Differenzenquotienten aufstellen
>  
> [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{f^{-1}(\hat z_n) - f^{-1}(\hat z)}{\hat z_n - \hat z}= \frac{z_n - z}{f(z_n) - f(z)}=(\frac{f(z_n) - f(z)}{z_n - z})^{-1} \overbrace{\to}^{n \to \infty} \frac{1}{f'(z)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(\hat z))}[/mm]

Schön, dass du den Grenzwert nach dem ersten Gleichheitszeichen einfach weglässt… dann fällt dir natürlich auch nicht auf, wieso man [mm] $z_n \to [/mm] z$ bräuchte… und das [mm] \to [/mm] macht da auch gar keinen Sinn, wenn du vorher schon [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] davor schreibst.

> das gilt ,weil  [mm]f^{-1}(\hat z_n)=z_n[/mm]  und [mm]f^{-1}(\hat z)= z[/mm]
> und [mm]\hat z_n = f( z_n)[/mm] und [mm]\hat z = f(z)[/mm]
>  
> Wieso gilt jetzt [mm](\frac{f(z_n) - f(z)}{z_n - z})^{-1} \overbrace{\to}^{n \to \infty} \frac{1}{f'(z)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(\hat z))}[/mm]

Da solltest du dir nochmal die Definition der Ableitung von $f$ anschauen und die Grenzwertsätze beachten.

> ich meine ist [mm]\lim_{n \to \infty}(\frac{f(z_n) - f(z)}{z_n - z})^{-1}=0[/mm],da[mm](z_n)[/mm]
> gegen [mm]f(z)[/mm] geht und [mm]z_n[/mm] gegen [mm]z[/mm] geht?

Die Frage zeigt, dass du etwas grundlegendes bei der Definition der Ableitung nicht verstanden hast. Nach deiner Theorie wäre ja jede Ableitung immer 0…

Kleiner Tipp für deinen Kommilitonen: Er hat vergessen zu begründen, wieso $f'(z) [mm] \not= [/mm] 0$, da ansonsten [mm] $\frac{1}{f'(z)}$ [/mm] sonst nicht definiert wäre.


Gruß,
Gono

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Bezug
bijektivität/kompl.diff'bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:32 Mo 09.05.2022
Autor: fred97

Gono hat ja schon fast alles gesagt. Bis auf:

Mach Dich mit folgenden Begriffen vertraut:

   injektiv, surjektiv, bijektiv,

   Konvergenz von Folgen,

   Ableitungen und Differenzierbarkeit.

Gehe also zurück und lerne Analysis von der Pike auf. Sonst wird das nix mit dem Mathematikstudium !



Bezug
                                                
Bezug
bijektivität/kompl.diff'bar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Mo 16.05.2022
Autor: nkln

Hi leute,

danke erstmal für euere Antwort. Ich habe es in der Globalübung verstanden, da dort eindeutige Schriftweisen benutzt worden und es mir so geläufiger wurde.

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