binom. Formel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 So 20.11.2022 | | Autor: | helmut25 |
Bei der Beschäftigung mit der zweiten binomischen Formel ist mir
die Idee gekommen, dass die zweite binomische Formel eigentlich
überflüssig wäre.
Denn wenn man (a - b)*(a - b) gemäss der Regel für die *erste*
binomische Formel multipliziert, dann kommt *auch* das korrekte
Ergebnis heraus, da ja das "+" dann quasi automatisch zu einem
"-" wird.
Einige meiner Nachhilfeschüler hatten damit schon Probleme.
Ich möchte auch nur mal auf die pq-Formel zur Lösung quadratischer
Gleichungen verweisen, wo das "- q" unter der Wurzel zu einem "+ q"
wird, wenn q ohnehin schon negativ ist.
Man braucht hier also _keine_ Sonderregel für _negatives_ q.
Warum dann aber eine Sonderregel für die zweite binomische Formel,
wenn die erste auch den "Negativ-Fall"abdeckt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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binom.formel
ja, steht auch als "überflüssig" in einigen mathe-büchern drin.
aber für die schule hast du dann zu merken:
wenn +, dann + und + (bei der 1.)
wenn -, dann - und + (wie bei der 2.)
da ist es didaktisch evtl. besser, aus so einer "aufgesplitterten" formel zwei zu machen
das minuszeichen [mm] (a-b)^2 [/mm] ist ein rechenoperatioszeichen, es steht dort nicht (a+ ("b [mm] negativ"))^2, [/mm] auch wird das a allgemein als positive zahl angenommen. also beide variablen a,b bezeichnen i.a. positive zahlen.
"durch anwendung dieser (drei binom.) formeln kann sowohl das quadrat einer algebraischen summe angegeben als auch eine summe in faktoren zerlegt werden. in beiden richtungen ergeben sich auch rechenvorteile für das kopfrechnen."
p.s.: auch meinen ma-schülern zeige ich, dass die 2. eig. bereits in der ersten enthalten ist, aber sie können sie sich als 2.bin.formel besser merken als diese "vorzeichengeschichte"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 20.11.2022 | | Autor: | helmut25 |
Das mit den *didaktischen Gründen* mag schon stimmen, allerdings habe ich
trotzdem die Erfahrung gemacht, dass manche Schüler doch sehr irritiert sind, wenn "2ab" schon negativ ist und meinen, wegen dem Minuszeichen müsse das Vorzeichen umgedreht werden (wie es ja auch vorher gelernt wurde), so dass letzten Endes ein "+2ab" rauskommt.
Ausserdem ist man ja in den Naturwissenschaften bestrebt, Regeln möglichst
allgemein zu halten, ohne Sonderfälle.
Ob hier die *didaktischen Gründe* eine Ausnahme rechtfertigen, sei mal
dahingestellt, schliesslich sollen die Schüler ja auch lernen mit Abstraktionen
umzugehen.
Im Übrigen habe ich noch kein Mathebuch gesehen, wo diese Regel
als "überflüssig" bezeichnet wurde...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Mo 21.11.2022 | | Autor: | fred97 |
> binom.formel
>
> ja, steht auch als "überflüssig" in einigen
> mathe-büchern drin.
> aber für die schule hast du dann zu merken:
> wenn +, dann + und + (bei der 1.)
> wenn -, dann - und + (wie bei der 2.)
> da ist es didaktisch evtl. besser, aus so einer
> "aufgesplitterten" formel zwei zu machen
>
> das minuszeichen [mm](a-b)^2[/mm] ist ein rechenoperatioszeichen, es
> steht dort nicht (a+ ("b [mm]negativ"))^2,[/mm] auch wird das a
> allgemein als positive zahl angenommen.
> also beide
> variablen a,b bezeichnen i.a. positive zahlen.
Mit Verlaub, das ist Unsinn !
>
> "durch anwendung dieser (drei binom.) formeln kann sowohl
> das quadrat einer algebraischen summe angegeben als auch
> eine summe in faktoren zerlegt werden. in beiden
> richtungen ergeben sich auch rechenvorteile für das
> kopfrechnen."
>
>
> p.s.: auch meinen ma-schülern zeige ich, dass die 2. eig.
> bereits in der ersten enthalten ist, aber sie können sie
> sich als 2.bin.formel besser merken als diese
> "vorzeichengeschichte"
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Hallo Helmut,
ich finde die Sonderbehandlung ebenfalls unnötig und schreibe die Formel auch immer auf als $(a [mm] \red{\pm} b)^2 [/mm] = [mm] a^2 \red{\pm} [/mm] 2ab + [mm] b^2$, [/mm] so ist auch sofort klar, in welcher Weise die Rechenoperation auf der einen Seite sich auf der anderen Seite wiederfindet.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mo 21.11.2022 | | Autor: | fred97 |
> Bei der Beschäftigung mit der zweiten binomischen Formel
> ist mir
> die Idee gekommen, dass die zweite binomische Formel
> eigentlich
> überflüssig wäre.
> Denn wenn man (a - b)*(a - b) gemäss der Regel für die
> *erste*
> binomische Formel multipliziert, dann kommt *auch* das
> korrekte
> Ergebnis heraus, da ja das "+" dann quasi automatisch zu
> einem
> "-" wird.
> Einige meiner Nachhilfeschüler hatten damit schon
> Probleme.
> Ich möchte auch nur mal auf die pq-Formel zur Lösung
> quadratischer
> Gleichungen verweisen, wo das "- q" unter der Wurzel zu
> einem "+ q"
> wird, wenn q ohnehin schon negativ ist.
> Man braucht hier also _keine_ Sonderregel für _negatives_
> q.
> Warum dann aber eine Sonderregel für die zweite
> binomische Formel,
> wenn die erste auch den "Negativ-Fall"abdeckt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Richtig, die zweite binomische Formel ist überflüssig.
Dass man sie in Formelsammlungen und Büchern für Schüler dennoch findet, mag daran liegen, dass Autoren die Transferleistung
[mm] $(a-b)^2 [/mm] = [mm] a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+(-1)^2b^2= a^2-2ab+1 \cdot b^2=a^2-2ab+b^2$
[/mm]
Schülern nicht zutrauen.
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> Richtig, die zweite binomische Formel ist überflüssig.
> Dass man sie in Formelsammlungen und Büchern für Schüler
> dennoch findet, mag daran liegen, dass Autoren die
> Transferleistung
>
> [mm](a-b)^2 = a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+(-1)^2b^2= a^2-2ab+1 \cdot b^2=a^2-2ab+b^2[/mm]
>
> Schülern nicht zutraut.
Es kommt noch etwas Entscheidendes hinzu: Formeln sollen ja das Rechnen / Umformen erleichtern. Wenn man nur die 1. bin. Formel kennt, ist es - zumindest für Schüler - viel leichter zu erkennen, dass man z. B. [mm] 4x^2 [/mm] - 24x + 36 zu [mm] (2x-6)^2 [/mm] vereinfachen kann, für
[mm] 4x^2 [/mm] + 24x - 36 eine solche Vereinfachung nicht möglich ist. Man kann schlecht verlangen, dass ein mittelmäßiger Schüler mit Hilfe der 1. bin. Formel diese Vereinfachung erbrüten kann, und wenn, wird er wahrscheinlich bei [mm] 4x^2 [/mm] + 24x - 36 ebenso herumlavieren, bis er merkt, dass er keine sinnvolle Vereinfachung findet.
Mit dem gleichen Argument könnte man ja auch sagen, dass die Regel
[mm] x^{-n}=\bruch{1}{x^n} [/mm] überflüssig ist, denn der Schüler kann sich ja auch immer wieder überlegen, dass das aus [mm] x^{-n}*x^n=x^0=1 [/mm] folgt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mo 21.11.2022 | | Autor: | fred97 |
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> Mit dem gleichen Argument könnte man ja auch sagen, dass
> die Regel
> [mm]x^{-n}=\bruch{1}{x^n}[/mm] überflüssig ist, denn der Schüler
> kann sich ja auch immer wieder überlegen, dass das aus
> [mm]x^{-n}*x^n=x^0=1[/mm] folgt.
Dem kann ich nun überhaupt nicht zustimmen !
Ich bin im einzelnen nicht im Bilde , wie Schülern Potenzen von reellen Zahlen beigebracht werden.
Der exakte Weg ist der folgende:
1. Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] definiert man [mm] $x^n$ [/mm] induktiv:
[mm] x^1:=x [/mm] und [mm] $x^{n+1}: [/mm] =x [mm] \cdot x^n.$
[/mm]
2. Zusätzlich definiert man (auch für x=0): [mm] $x^0:=1$
[/mm]
3. Jetzt sei $x [mm] \ne [/mm] 0$ und $n [mm] \in \IN$. [/mm] Jetzt definiert (!) man
[mm] $x^{-n}:= \frac{1}{x^n}.$
[/mm]
Erst jetzt leitet man aus 1., 2. und 3. die Regeln
[mm] $x^{m+n}=x^m \cdot x^n, [/mm] ( [mm] x^{m})^n= x^{mn}, [/mm] .... $
her.
[mm] $x^{-n}= \frac{1}{x^n}$ [/mm] ist also eine Definition und keine Regel.
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> Der exakte Weg ist der folgende:
>
> 1. Für [mm]x \in \IR[/mm] und [mm]n \in \IN[/mm] definiert man [mm]x^n[/mm]
> induktiv:
>
> [mm]x^1:=x[/mm] und [mm]x^{n+1}: =x \cdot x^n.[/mm]
>
> 2. Zusätzlich definiert man (auch für x=0): [mm]x^0:=1[/mm]
>
> 3. Jetzt sei [mm]x \ne 0[/mm] und [mm]n \in \IN[/mm]. Jetzt definiert (!)
> man
>
> [mm]x^{-n}:= \frac{1}{x^n}.[/mm]
>
> Erst jetzt leitet man aus 1., 2. und 3. die Regeln
>
> [mm]x^{m+n}=x^m \cdot x^n, ( x^{m})^n= x^{mn}, ....[/mm]
>
> her.
>
> [mm]x^{-n}= \frac{1}{x^n}[/mm] ist also eine Definition und keine
> Regel.
>
Hallo Fred,
ja, das ist tatsächlich eine Definition, die allerdings (in der Schule) durch das Permanenzprinzip motiviert wird:
[mm] 2^3 [/mm] = 8
[mm] 2^2 [/mm] = 4
[mm] 2^1 [/mm] = 2
[mm] 2^0 [/mm] = ? ----> 1
[mm] 2^{-1}= [/mm] ? ----> 1/2
usw.
Vielleicht war das Beispiel ungeschickt gewählt. Statt dessen nehmen wir mal diese:
In der Diff.-Rechnung kann man auf die Quotientenregel verzichten, es reicht, wenn man die Produkt- und die Kettenregel kennt, und jeder Schüler kann ja dann damit arbeiten.
Oder in völliger Übertreibung: Für die Differentialrechnung braucht man nicht die Regel [mm] (x^n)' [/mm] = [mm] nx^{n-1}, [/mm] es reicht doch auch hier die Produktregel, man kann sich ja von Fall zu Fall immer wieder auf x'=1 herunterhangeln.
Wenn man weiß, wieviel Schwierigkeiten ein durchschnittlicher Gymnasialschüler mit der Mathematik hat, ist man für jede vereinfachende Regel dankbar, das wollte ich damit zum Ausdruck bringen.
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Ja, die "zweite binomische Formel" ist tatsächlich "überflüssig" in dem Sinne,
wie du es beschreibst.
Würde man eine der üblichen mathematischen Formelsammlungen strikt
durchkämmen und alle "überflüssigen" Formeln (alle jene, welche sich
aus einer kleinen Anzahl "notwendiger" Formeln herleiten lassen) raus-
streichen, so würde wohl nur eine ziemlich dünne Sammlung essentieller
Formeln übrigbleiben.
Ob so ein Verfahren aber sinnvoll und nützlich wäre, ist doch sehr fraglich.
Auch die Lernforschung sagt doch eher, dass Gedächtnisinhalte wesentlich
besser haften bleiben, wenn sie untereinander vielfältig verknüpft sind.
Wer aber Mathematik wirklich nicht nur "auswendig", sondern "inwendig"
kennt, kann sich diese vielfältigen Verknüpfungen zunutze machen und
somit mit einem kleinen Repertoire an Grundregeln und -kenntnissen
auskommen.
LG , Al-Chwarizmi
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