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| Aufgabe | Es gilt (laut Buch):
| [mm] \lambda [/mm] - (Ay,y) [mm] |^2 [/mm] + [mm] ||Ay||^2 [/mm] - (Ay,y) = [mm] ||Ay||^2 [/mm] + | [mm] \lambda |^2 [/mm] - [mm] 2*Re(\lambda) [/mm] (Ay,y) |
Wieso gilt obige Beziehung?
Habe versucht das mit Binomischen Formeln mal auszumultiplizieren, dabei komme ich auf dieses Ergebnis :
| [mm] \lambda -(Ay,y)|^2 [/mm] = [mm] |\lambda|^2+|(Ay,y)|^2 [/mm] -2*| [mm] \lambda [/mm] (Ay,y)|
Also in obige Formel eingesetzt würde das ergeben:
[mm] |\lambda [/mm] -(Ay,y) [mm] |^2 +||Ay||^2 [/mm] - (Ay,y) = [mm] |\lambda|^2 [/mm] + [mm] |(Ay,y)|^2 -2*|\lambda [/mm] (Ay,y)| [mm] +||Ay||^2 [/mm] -(Ay,y)
= || [mm] Ay||^2 +|\lambda|^2 [/mm] - 2* [mm] |\lambda| [/mm] (Ay,y) , da (Ay,y) reell und positiv ist, kann man betrag auch weglassen!? ;
= [mm] ||Ay||^2 [/mm] + [mm] |\lambda|^2 [/mm] + [mm] (Ay,y)^2 [/mm] - [mm] 2*|\lambda| [/mm] (Ay,y)
Aber wie folgt dann die Behauptung ?
Danke für HInweise.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Do 06.03.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo student0815!
> Es gilt (laut Buch):
> | [mm]\lambda[/mm] - (Ay,y) [mm]|^2[/mm] + [mm]||Ay||^2[/mm] - (Ay,y) = [mm]||Ay||^2[/mm] + |
> [mm]\lambda |^2[/mm] - [mm]2*Re(\lambda)[/mm] (Ay,y)
> Wieso gilt obige Beziehung?
> Habe versucht das mit Binomischen Formeln mal
> auszumultiplizieren, dabei komme ich auf dieses Ergebnis :
> | [mm]\lambda -(Ay,y)|^2[/mm] = [mm]|\lambda|^2+|(Ay,y)|^2[/mm] -2*| [mm]\lambda[/mm]
> (Ay,y)|
>
> Also in obige Formel eingesetzt würde das ergeben:
> [mm]|\lambda[/mm] -(Ay,y) [mm]|^2 +||Ay||^2[/mm] - (Ay,y) = [mm]|\lambda|^2[/mm] +
> [mm]|(Ay,y)|^2 -2*|\lambda[/mm] (Ay,y)| [mm]+||Ay||^2[/mm] -(Ay,y)
> = || [mm]Ay||^2 +|\lambda|^2[/mm] - 2* [mm]|\lambda|[/mm] (Ay,y) , da (Ay,y)
> reell und positiv ist, kann man betrag auch weglassen!? ;
> = [mm]||Ay||^2[/mm] + [mm]|\lambda|^2[/mm] + [mm](Ay,y)^2[/mm] - [mm]2*|\lambda|[/mm] (Ay,y)
>
> Aber wie folgt dann die Behauptung ?
> Danke für HInweise.
Vielleicht hilft dir diese Diskussion - da wird weiter unten recht viel gerechnet mit Skalarprodukt und so. Könnte sein, dass das genau das ist, was bei dir noch fehlt...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 16:56 Do 06.03.2008 | | Autor: | blascowitz |
Hallo
nach meinen Rechnungen gilt obige Gleichung nur wenn (Ay,y) [mm] \in \IR(kann [/mm] ja auch von [mm] \IC^n [/mm] x [mm] \IC^n \rightarrow \IC [/mm] gehen) für [mm] \lambda \in \IC. [/mm] Dann folgt für [mm] \lambda=a_{1}+ib_{1} [/mm] und
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Do 06.03.2008 | | Autor: | blascowitz |
Entschuldigung für den unfertigen Artikel, falsch geklickt. Allerdings kommt das bei mir irgendwie nicht hin, also sei [mm] \lambda \in \IC [/mm] d.h. [mm] \lambda=a_{1}+ib_{2} [/mm] mit [mm] a_{1},b_{1} \in \IR, [/mm] weiter sei (Ay,y) [mm] \in \IR(\IC?) [/mm] also [mm] $(Ay,y)=a_{2}$. [/mm] Dann ist [mm] |\lambda-(Ay,y)|^2=|(a_{1}-a_{2})+b_{1}i|^2=((a_{1}-a_{2})^2+b_{1}^2)=|\lambda|^2-2a_{1}a_{2}+a_{2}^2=|\lambda|^2-2\Re(\lambda)*(Ay,y)+((Ay,y)^2)
[/mm]
Insgesamt ergibt sich dann
[mm] |\lambda-(Ay,y)^2+||Ay||^2-(Ay,y)=|\lambda|^2+||Ay||^2-2*\Re(\lambda)(Ay,y)-(Ay,y)+(Ay,y)^2. [/mm]
Deshalb mal eine Frage: Wurde da vielleicht ein Quadrat bei (Ay,y) vergessen, denn dann würde das hinhauen.
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Hallo ,
erstmal vielen vielen Dank für den Tipp, ich wär nie auf die idee gekommen, dass so zu gliedern.
Stimmt, das war wohl mein Fehler , habe tatsächlich ein Quadrat bei (Ay,y) vergessen.
Richtige Behauptung ist also:
[mm] |\lambda [/mm] - [mm] (Ay,y)|^2 [/mm] + [mm] ||Ay||^2 [/mm] - [mm] (Ay,y)^2 [/mm] = [mm] ||Ay||^2 [/mm] + [mm] |\lambda|^2 [/mm] - [mm] 2*Re(\lambda)(Ay,y) [/mm]
damit folgt aus der Rechnung die Behauptung.
Cool :)
zum Thema (Ay,y) [mm] \in \IR [/mm] :
A ist eine symmetrische n [mm] \times [/mm] n Matrix.
Also gilt ja:
[mm] a_{jk}=a_{kj} [/mm] und [mm] a_{jk} \in \IR [/mm] = [mm] \IK
[/mm]
und da y [mm] \in \IK^n [/mm] ist folgt daraus, dass auch
(Ay,y) [mm] \in \IK [/mm] = [mm] \IR [/mm] ist.
Kann man das so sagen??
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Wenn A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] und y [mm] \in \IR^n, [/mm] dann ist $Ay$ [mm] \in \IR^n [/mm] und somit ist dann (.) eine Abbildung von $V x V$ [mm] \rightarrow \IR [/mm] .
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hallo,
ok danke für die schnelle Antwort. :)
Dann weiß ich wie's funktioniert.
bis dann.
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