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Forum "Uni-Analysis" - binomischer Lehrsatz
binomischer Lehrsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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binomischer Lehrsatz: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:38 Mi 27.10.2004
Autor: beauty

Ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt.

Die Aufgabe lautet [mm] x_1,.....x_k [/mm] sind reele Zahlen. n € N. Man soll nun die Gültigkeit des verallgemeinerten binomischen Lehrsatzes zeigen.
[mm] +(x_1+...x_k)^n=/sum_/left\{ \left| alpha\right|=n}right\{n \choose alpha} [/mm] x ^alpha

Ich weiß das ich die Induktion über k machen muss
[mm] ((x_1+...+x_k)+x_k+1)^n=/summe_(beta_1 beta_2)^n{n \choose k} (x_1+...+x_k)^beta_1 x_k+1 ^beta_2 [/mm]


Aber wie komme ich jetzt weiter? Wäre nett wenn mir jemand hilft.

        
Bezug
binomischer Lehrsatz: Bitte nochmal...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:56 Do 28.10.2004
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Schönheit,

ich kann deiner Frage nicht viel entnehmen.

Kannst du sie nochmal stellen, indem du die Formeln etwas leserlicher ;-) eingibst, z.B. ergibt
\sum_{k=0}^{n} bzw. \summe_{k=0}^{n} den Ausdruck [mm]\sum_{k=0}^{n}[/mm].

Als Exponent wird immer nur ein(!) Zeichen genommen, deswegen ergibt 2^10 = [mm]2^10[/mm], aber es entsteht [mm]2^{10}[/mm] durch 2^{10}. Hast du längere zusammengehörende Ausdrücke, wie z.B. das k=1 von der Summe, dann muss das in geschweifte Klammern.

Mehr Infos zu den Formeln gibt es in der Formelhilfe.

Hugo

Bezug
                
Bezug
binomischer Lehrsatz: Formel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Do 28.10.2004
Autor: beauty

Die formel lautet:

[mm] (x_1+....+x_k)^n=summe_(\left| alpha\right|=n){n \choose alpha} [/mm] x^(alpha)

Ich hoffe du kannst mir jetzt weiterhelfen.

Bezug
        
Bezug
binomischer Lehrsatz: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Do 28.10.2004
Autor: beauty

Hey!
Habe die Formel jetzt noch einmal reingesetzt. Könnt ihr mir jetzt weiterhelfen?Komme nämlich einfach nicht weiter.
Wäre echt super!!

Bezug
                
Bezug
binomischer Lehrsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Fr 29.10.2004
Autor: Julius

Hallo!

Ich würde den Beweis zunächst für festes $k=1$ (das ist trivial) und $k=2$ über $n [mm] \in \IN$ [/mm] per Induktion zeigen, und dann wie folgt per Induktion nach $k$:

[mm] $(x_1+ \ldots [/mm] + [mm] x_k [/mm] + [mm] x_{k+1})^n [/mm] = [mm] \sum\limits_{l=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] l} [mm] (x_1+ \ldots [/mm] + [mm] x_k)^l \cdot x_{k+1}^{n-l}$ [/mm]

(da wir die Behauptung für $k=2$ und beliebiges $n$ schon gezeigt haben)

$= [mm] \sum\limits_{l=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] l} [mm] \sum\limits_{\vert \alpha \vert = l} [/mm] {l [mm] \choose \alpha}x^{\alpha} x_{k+1}^{n-l}$ [/mm]

(nach Induktionsvoraussetzung)

$= [mm] \sum\limits_{\vert \tilde{\alpha} \vert = n} \sum\limits_{l=0}^{n} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] l} {l [mm] \choose \tilde{\alpha}} x^{\tilde{\alpha}}$ [/mm]

$= [mm] \ldots$ [/mm]

Hast du selber eine Idee, wie es jetzt weitergehen könnte?

Liebe Grüße
Julius


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Bezug
binomischer Lehrsatz: Brauch hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Sa 13.11.2004
Autor: Lord_Exo

Hallo
ich bin schon ewig auf der suche nach einem vollständigem beweis des binomischen lehrsatzes.
Vielleicht kann mir da einer helfen oder mir einenen link schicken

Kevin

Bezug
                
Bezug
binomischer Lehrsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Sa 13.11.2004
Autor: Julius

Hallo Kevin!

Wenn du den ganz normalen Binomischen Lehrsatz meinst (nicht den verallgemeinerten), dann findest du dessen Beweis []hier (Seite 11 in der skriptinternen Zählung).

Liebe Grüße
Julius

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