cauchykriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm] \summe_{k=n}^{\infty} a_k [/mm] eine konvergente Reihe. Zeigen Sie:
1. Für jedes n [mm] \in\IN\sub [/mm] ist An := [mm] \summe_{k=n}^{\infty}a_k [/mm] eine konvergente Reihe und es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} A_n [/mm] = 0
2. Sind alle [mm] a_k [/mm] positiv, so gibt es eine monoton wachsende Folge [mm] (b_k) [/mm] positiver Zahlen mit [mm] b_k \to \infty [/mm] für k [mm] \to \infty, [/mm] für welche [mm] \summe_{k=n}^{\infty}a_k b_k [/mm] immer noch konvergiert. |
Hallo,
Ich hab mit der Aufgabe irgendwie probleme. 4.1 ist ja iwie nur ne umformulierung vom cauchykriterium. Aber irgendwie weis ich nicht weiter. und bei 2. auch nicht kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Mi 25.11.2009 | | Autor: | trixi28788 |
beim ersten summenzeichen muss k=1 und nich k=n hin
da hab ich mich verschrieben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Mi 25.11.2009 | | Autor: | trixi28788 |
und beim letzten auch ;) sorry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mi 25.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\summe_{k=n}^{\infty} a_k[/mm] eine konvergente Reihe.
Das soll wohl [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] lauten
> Zeigen Sie:
>
> 1. Für jedes n [mm]\in\IN\sub[/mm] ist An :=
> [mm]\summe_{k=n}^{\infty}a_k[/mm] eine konvergente Reihe und es gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} A_n[/mm] = 0
> 2. Sind alle [mm]a_k[/mm] positiv, so gibt es eine monoton
> wachsende Folge [mm](b_k)[/mm] positiver Zahlen mit [mm]b_k \to \infty[/mm]
> für k [mm]\to \infty,[/mm] für welche [mm]\summe_{k=n}^{\infty}a_k b_k[/mm]
> immer noch konvergiert.
> Hallo,
>
> Ich hab mit der Aufgabe irgendwie probleme. 4.1 ist ja iwie
> nur ne umformulierung vom cauchykriterium. Aber irgendwie
> weis ich nicht weiter. und bei 2. auch nicht kann mir
> jemand helfen?
Zu 1. Setze [mm] s_n [/mm] = [mm] a_1+ ...+a_n. [/mm] Nach Vor ist [mm] (s_n) [/mm] konvergent. Sei s:= lim [mm] s_n
[/mm]
Jetzt sei n [mm] \in \IN [/mm] fest und für m [mm] \ge [/mm] n sei
[mm] S_m [/mm] := [mm] a_n+ ...+a_m
[/mm]
Dann ist [mm] (S_m) [/mm] gerade die Teilsummenfolge von [mm]\summe_{k=n}^{\infty} a_k[/mm] .
Für m > n ist
[mm] S_m= s_m-s_{n-1}
[/mm]
folglich ist [mm] (S_m) [/mm] konvergent. Jetzt machst Du weiter.
FRED
>
|
|
|
| |
|
hey FRED...
ich danke dir schonma für die schnelle antwort.
also ich hab das jetz so verstanden, dass $ [mm] s_{m}=a_{1}+...+a_{m} [/mm] $ ist und $ [mm] s_{n-1}=a_{1}+...+a_{n-1} [/mm] $ ist. muss ich das noch vorher mit hinschreiben oder ist das auch ohne dem nachvollziehbar?
der restliche beweis ist mir eigentlich recht schlüssig. danke schön. abschließend würde ich für den beweis, dass $ [mm] A_{n} [/mm] $ konvergiert, noch hinschreiben:
Nun folgt aus der Definition der Reihe, dass
$ [mm] A_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}(S_{m})= \limes_{n\rightarrow\infty}(s_{m}-s_{n-1}) [/mm] $ gilt und somit $ [mm] A_{n} [/mm] $ konvergiert.
und jetzt noch zu dem $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(A_{n})=0 [/mm] $
da die reihe konvergiert, müssen die summanden ab einem n $ [mm] \in [/mm] $ N so klein werden, dass die summe nicht größer oder kleiner wird, sie nähern sich also 0 an. reicht das schon als begründung?
und iwie habe ich auch noch keine ahnung, wie ich die zweite teilaufgabe angehen soll. könntest du mir dafür vllt noch einen tipp geben?
vielen dank schonmal
|
|
|
| |
|
hey...
also ich musste die aufgabe noch nicht abgeben. daher wäre ich euch dankbar, wenn ihr mir vllt noch bei dem zweiten teil der aufgabe helfen könntet und wenn ihr mir sagen könntet, ob das, was ich beim ersten teil geschrieben habe, richtig ist... wär wirklich super von euch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Fr 27.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Beweise für a) musst du noch ausführlicher hinschreiben. bei b probiers mal mit dem Quotientenkriterium und konstruier daraus [mm] b_k
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
hmm... also iwie weiß ich nicht, wie ich das quotientenkriterium anwenden soll, ohne das ich die reihe gegeben habe. muss ich dann [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k} [/mm] hinschreiben? und wenn ja, wie soll ich dann da weiter machen, um [mm] b_k [/mm] zu konstruieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Fr 27.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was weist du über [mm] a_{k+1}/a_k [/mm] wenn die Reihe mit [mm] a_k [/mm] konvergiert,
dann betrachte das Quotientenkrit für die Reihe mit [mm] a_kb_k
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ok also das hat mich wieder einen schritt weiter gebracht. ich weiß wegen dem quotientenkriterium, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}}{a_k}<1. [/mm] und nun muss ich zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}b_{k+1}}{a_kb_k}<1. [/mm] nur wie kann ich nun eine aussage über [mm] b_k [/mm] treffen? wüsste nicht, wie ich den bruch auseinanderziehen kann, um die voraussetzung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}}{a_k}<1 [/mm] anwenden zu können...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Häng auch gerade an der Aufgabe, drum hab ich das jetzt mal so versucht:
zz. limsup [mm] \bruch{a_{k+1}b_{k+1}}{a_{k}b_{k}} [/mm] < 1
limsup [mm] \bruch{a_{k+1}b_{k+1}}{a_{k}b_{k}} [/mm] = [mm] \underbrace{limsup \bruch{a_{k+1}}{a_{k}}}_{< 1} [/mm] * [mm] \underbrace{limsup \bruch{b_{k+1}}{b_{k}}}_{\to 1} [/mm] < 1
Dass limsup [mm] \bruch{b_{k+1}}{b_{k}} [/mm] gegen 1 geht wissen wir, da die [mm] b_{k} [/mm] eine monoton wachsende Folge positiver Werte sind. So ist [mm] b_{k+1} [/mm] immer [mm] \ge b_{k} [/mm] und die [mm] b_{k} [/mm] gehen ja gegen 0, also wird die Differenz zwischen diesen Werten auch immer kleiner.
Hoffe, ich konnte helfen, bzw. ich hoffe, das stimmt so weit.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:23 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok also das hat mich wieder einen schritt weiter gebracht.
> ich weiß wegen dem quotientenkriterium, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}}{a_k}<1.[/mm]
nein, das weißt Du nicht, sondern nur:
[mm]\lim \sup \bruch{a_{k+1}}{a_k} \le 1.[/mm]
Bsp.: [mm] $a_k= 1/k^2$
[/mm]
> und nun
> muss ich zeigen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}b_{k+1}}{a_kb_k}<1.[/mm]
> nur wie kann ich nun eine aussage über [mm]b_k[/mm] treffen?
die [mm] b_k [/mm] sollst Du konstruieren !!!
FRED
> wüsste nicht, wie ich den bruch auseinanderziehen kann, um
> die voraussetzung
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}}{a_k}<1[/mm] anwenden
> zu können...
|
|
|
|
