cg-Verfahren - Abschätzung < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Sa 24.05.2014 | | Autor: | ttl |
| Aufgabe | Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem Ax=b mit einer symmetrischen positiv definiten Matrix [mm] A\in\IR^{N\times N} [/mm] und [mm] x,b\in\IR^{N}. [/mm] Über die Matrix A sei bekannt, dass die Eigenwerte im Intervall [7,28] liegen. Für das LGS Ax=b sollen so viele Iterationsschritte des cg-Verfahrens (ohne Vorkonditionierung) durchgeführt werden, dass die Abschätzung
[mm] |x^{k}-x^{*}|_{A} [/mm] < [mm] \epsilon |x^{0}-x^{*}|_{A}, [/mm] (0 < [mm] \epsilon [/mm] << 1)
für die k-te Itererite erfüllt ist. Zeigen Sie, dass dies in exakter Arithmetik nach spätestens
[mm] k\geq \frac{log(2)-log(\epsilon)}{log(3)}
[/mm]
Schritten garantiert werden kann. |
Hi,
wie sollte ich bei dieser Aufgabe vorgehen? Im Moment fehlt mir leider ein Ansatz.
Ich wäre über ein paar hilfreiche Tipps sehr glücklich.
Gruß
ttl
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 So 25.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem Ax=b mit einer
> symmetrischen positiv definiten Matrix [mm]A\in\IR^{N\times N}[/mm]
> und [mm]x,b\in\IR^{N}.[/mm] Über die Matrix A sei bekannt, dass die
> Eigenwerte im Intervall [7,28] liegen. Für das LGS Ax=b
> sollen so viele Iterationsschritte des cg-Verfahrens (ohne
> Vorkonditionierung) durchgeführt werden, dass die
> Abschätzung
>
> [mm]|x^{k}-x^{*}|_{A}[/mm] < [mm]\epsilon |x^{0}-x^{*}|_{A},[/mm] (0 <
> [mm]\epsilon[/mm] << 1)
> für die k-te Itererite erfüllt ist. Zeigen Sie, dass
> dies in exakter Arithmetik nach spätestens
> [mm]k\geq \frac{log(2)-log(\epsilon)}{log(3)}[/mm]
> Schritten
> garantiert werden kann.
> Hi,
>
> wie sollte ich bei dieser Aufgabe vorgehen? Im Moment fehlt
> mir leider ein Ansatz.
> Ich wäre über ein paar hilfreiche Tipps sehr
> glücklich.
>
> Gruß
> ttl
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Es gilt doch
[mm] \|x_k-x\|_A \le 2\left(\frac{\sqrt{\kappa(A)}-1}{\sqrt{\kappa(A)}+1}\right)^k\|x_{0}-x\|_A [/mm] ,
wobei [mm] \kappa(A) [/mm] die KOndition von A ist.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:48 So 25.05.2014 | | Autor: | ttl |
Hi,
auf diese Ungleichung bin ich schon gestoßen. Leider bin daraus nicht schlau geworden.
$ [mm] \|x_k-x\|_A \le 2\left(\frac{\sqrt{\kappa(A)}-1}{\sqrt{\kappa(A)}+1}\right)^k\|x_{0}-x\|_A [/mm] $
Die Kondtion von A $ [mm] \kappa(A) [/mm] $ kennt man in diesem Fall mit $ [mm] \kappa(A) [/mm] = [mm] \frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}$. [/mm] Aufgrund des gegebenen Intervalls mit [7,28] ist das kein Problem.
Sollte etwa dieses k im Exponenten mit $k [mm] \geq \frac{log(2)-log(\epsilon)}{log(3)}$ [/mm] abschätzen.
Ganz sicher bin ich mir noch nicht, also sprich ich weiß noch nicht wie ich diese Ungleichung verwenden sollte.
Gruß
ttl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 27.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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