chaotische Topologie,stetig < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei Y ein topologischer Raum und X eine nichtleere Menge. Welche Abbildungen X->Y sind stetig, wenn auf X die diskrete oder chaotische Topologie betrachtet wird.
Sei X eine Menge und [mm] \tau_1 [/mm] , [mm] \tau_2 [/mm] zwei Topologien auf X. Setze die Stetigkeit der identischen Abbildung auf X in Beziehung zur Vergleichbarkeit der beiden Topologien |
Hi
-) X mit diskrete Topologie: [mm] \tau [/mm] = P(X) (Potenzmenge von X)
f stetig <=> [mm] \forall [/mm] B [mm] \subset [/mm] Y offen: [mm] f^{-1} [/mm] (B) offen in X
X mit diskrete Topologie -> jede Teilmenge von X offen
=> alle Abbildungen f:X->Y stetg
-) X mit chaotische Topologie: [mm] \tau [/mm] = [mm] \{ \emptyset,X\}
[/mm]
f stetig <=> [mm] \forall [/mm] B [mm] \subset [/mm] Y offen: [mm] f^{-1} [/mm] (B) offen in X
[mm] f^{-1} [/mm] (B) offen in X <=> [mm] f^{-1} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] oder [mm] f^{-1} [/mm] (B) = X für alle B offen in Y.
WIe beschreib ich diese Abbildungen allgemein?
-)
[mm] \tau_1 [/mm] gröber als [mm] \tau_2 [/mm] ( [mm] dh.\tau_1 \subseteq \tau_2 [/mm] )
( alle offenen Mengen bez [mm] \tau_1 [/mm] auch offene Mengen bez. [mm] \tau_2)
[/mm]
=>
Id:(X, [mm] \tau_2) [/mm] -> (X, [mm] \tau_1)
[/mm]
x [mm] \to [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Id stetig: [mm] \forall [/mm] B [mm] \in \tau_1 [/mm] in X => [mm] Id^{-1} [/mm] (B)=B [mm] \in \tau_2
[/mm]
<=
Sei Id:(X, [mm] \tau_2) [/mm] -> (X, [mm] \tau_1), [/mm] x [mm] \to [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X stetig.
also: [mm] \forall [/mm] B [mm] \in \tau_1 [/mm] in X => [mm] Id^{-1} [/mm] (B)=B [mm] \in \tau_2
[/mm]
d.h. [mm] \tau_1 \subseteq \tau_2
[/mm]
Analog
[mm] \tau_2 [/mm] gröber als [mm] \tau_1 [/mm] ( [mm] dh.\tau_2 \subseteq \tau_1 [/mm] )
<=>
Id:(X, [mm] \tau_1) [/mm] -> (X, [mm] \tau_2)
[/mm]
x [mm] \to [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Id stetig: [mm] \forall [/mm] B [mm] \in \tau_2 [/mm] in X => [mm] Id^{-1} [/mm] (B)=B [mm] \in \tau_1
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Do 09.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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