char. Polynom/invariante UR < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:49 Mi 06.10.2010 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | [mm]F \in End(V)[/mm]
Wie sieht die Beziehung zwischen dem charakteristischen Polynom und invarianten Unterräumen aus? |
Im Fischer (14. Auflage, S. 242, Kapitel 4.4) wird von der Beziehung zwischen char. Pol. und invarianten Unterräumen gesprochen. Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese wirklich verstanden habe.
Mein Vorschlag:
eine Richtung:
char. Pol. zerfällt in Linearfaktoren, [mm]\lambda_{1}, .. , \lambda_{k}[/mm] paarweise verschiedene Eigenwerte und algebraische und geometrische Vielfachheit sind gleich, dann kann man V in F-invariante Unterräume zerlegen. Kurz:
[mm]P_{F}(t) = (\lambda_{1}-t) * (\lambda_{2}-t) * .. * (\lambda_{k}-t)[/mm]
[mm]\mu(P_{F}, \lambda) = dim(Eig(F, \lambda))[/mm]
und [mm]\lambda_{1}, .. , \lambda_{k}[/mm] paarweise verschieden
[mm]\Rightarrow [/mm]
[mm]V = Eig(F,\lambda_{1}) \oplus .. \oplus Eig(F, \lambda_{k})[/mm] mit [mm]Eig(F, \lambda_{i}) [/mm] F-invariant [mm]\forall i=1,..,k[/mm]
Aber was ist mit der anderen Richtung? Was ist, wenn ich meinen Vektorraum V in F-invariante Unterräume zerlegen kann?
Ich weiß, dass [mm]P_{U}(t)[/mm] ein Teiler von [mm]P_{F}(t)[/mm] ist (also, dass das char. Pol. von F eingeschränkt auf den invarianten Unterraum U ein Teiler vom char. Pol. von F ist)
Aber ist das alles?
Ich habe auch noch ein paar Fragen zum nachfolgenden Thema Fahnen und bin am Überlegen, ob ich mehr verstehe, wenn ich diese Fragen erstmal kläre. Was denkt ihr dazu?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mo 11.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]F \in End(V)[/mm]
> Wie sieht die Beziehung zwischen dem
> charakteristischen Polynom und invarianten Unterräumen
> aus?
> Im Fischer (14. Auflage, S. 242, Kapitel 4.4) wird von der
> Beziehung zwischen char. Pol. und invarianten Unterräumen
> gesprochen. Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese wirklich
> verstanden habe.
Ich hab den Fischer leider nicht zur Hand und kann deswegen nicht nachschauen, was da steht.
Man kann aber etwas ganz allgemein beweisen. Dazu erstmal eine Definition. Sei $A [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] eine fest gewaehlte Matrix.
a) Eine universelle $A$-Zerlegung ist eine Zerlegung [mm] $\bigoplus_{i=1}^k U_i [/mm] = [mm] K^n$ [/mm] mit $A$-invarianten UVRen [mm] $U_1, \dots, U_k$ [/mm] von [mm] $K^n$, [/mm] so dass gilt: ist $U$ irgendein $A$-invarianter UVR, so ist $U = [mm] \bigoplus_{i=1}^k (U_i \cap [/mm] U)$.
Sei die Menge dieser Zerlegungen gleich [mm] $\mathcal{Z}$.
[/mm]
(Beachte, dass die Inklusion [mm] "$\supseteq$" [/mm] immer glit. Die Rueckrichtung ist die wichtige Aussage!)
b) Eine teilerfremde Zerlegung des char. Polynoms [mm] $\xi_A$ [/mm] von $A$ ist ein Produkt [mm] $\xi_A [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k f_i$, [/mm] wobei [mm] $f_1, \dots, f_k \in [/mm] K[t]$ paarweise teilerfremd und normiert sind.
Sei die Menge dieser Zerlegungen gleich [mm] $\mathcal{F}$.
[/mm]
(Ich gehe hier davon aus, dass char. Polynome immer normiert sind.)
Dann sollte man folgendes Beweisen koennen:
Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge der universellen $A$-Zerlegungen, [mm] $\mathcal{Z}$, [/mm] und der Menge der teilerfremden Zerlegungen des char. Polynoms, [mm] $\mathcal{F}$, [/mm] die gegeben ist durch [mm] $(U_1, \dots, U_k) \mapsto (\xi_{A|_{U_1}}, \dots, \xi_{A|_{U_k}})$.
[/mm]
(Hier ist [mm] $\xi_{A|_U}$ [/mm] das char. Polynom des Endomorphismus $U [mm] \to [/mm] U$, der durch den durch $A$ beschriebenen Endomorphismus [mm] $K^n \to K^n$ [/mm] induziert wird. Dies geht, da $U$ $A$-invariant ist.)
Die feinste universelle $A$-Zerlegung korrespondiert also zur Zerlegung von [mm] $\xi_A$ [/mm] in Primpolynom-Potenzen.
Nimmt man an, dass [mm] $\xi_A$ [/mm] in Linearfaktoren zerfaellt, etwa [mm] $\xi_A [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k [/mm] (t - [mm] \lambda_i)^{e_i}$ [/mm] mit [mm] $e_i \in \IN$ [/mm] und [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ [/mm] paarweise verschieden, so ist eine solche Zerlegung gerade $((t - [mm] \lambda_1)^{e_1}, \dots, [/mm] (t - [mm] \lambda_k)^{e_k})$.
[/mm]
Es gibt oft feinere Zerlegungen von [mm] $K^n$ [/mm] in $A$-invariante Untervektorraeume (siehe z.B. die Jordansche Normalform: jedes Jordan-Kaestchen entspricht einem $A$-invarianten UVR), diese sind jedoch nicht mehr "universell" im obigen Sinne.
> Mein Vorschlag:
>
>
> eine Richtung:
> char. Pol. zerfällt in Linearfaktoren, [mm]\lambda_{1}, .. , \lambda_{k}[/mm]
> paarweise verschiedene Eigenwerte und algebraische und
> geometrische Vielfachheit sind gleich, dann kann man V in
> F-invariante Unterräume zerlegen. Kurz:
> [mm]P_{F}(t) = (\lambda_{1}-t) * (\lambda_{2}-t) * .. * (\lambda_{k}-t)[/mm]
>
> [mm]\mu(P_{F}, \lambda) = dim(Eig(F, \lambda))[/mm]
> und
> [mm]\lambda_{1}, .. , \lambda_{k}[/mm] paarweise verschieden
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]V = Eig(F,\lambda_{1}) \oplus .. \oplus Eig(F, \lambda_{k})[/mm]
> mit [mm]Eig(F, \lambda_{i})[/mm] F-invariant [mm]\forall i=1,..,k[/mm]
>
>
> Aber was ist mit der anderen Richtung? Was ist, wenn ich
> meinen Vektorraum V in F-invariante Unterräume zerlegen
> kann?
Dann gibt es i.A. weder Linearfakoren des char. Polynoms, doch ist die Matrix diagonalisierbar.
> Ich weiß, dass [mm]P_{U}(t)[/mm] ein Teiler von [mm]P_{F}(t)[/mm] ist
> (also, dass das char. Pol. von F eingeschränkt auf den
> invarianten Unterraum U ein Teiler vom char. Pol. von F
> ist)
> Aber ist das alles?
Ich hoffe das, was ich oben geschrieben hab, bringt dich etwas weiter und verwirrt dich nicht zu sehr 
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 18.10.2010 | | Autor: | ilfairy |
Uhh! Ein wenig verwirrt bin ich schon - hab aber eine Ahnung um was es hier geht.
Allerdings habe ich noch zwei Fragen zu a) und b):
Ich verstehe die Definition einer universellen Zerlegung nicht. Wie kann denn so eine Zerlegung aussehen?
Die Inklusion in eine Richtung ist mir klar – allerding nicht in die andre Richtung (also warum U immer Teilmenge der direkten Summe ist).
Und warum gehst du davon aus, dass das charakteristische Polynom immer normiert ist?
Liebe Grüße und vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Uhh! Ein wenig verwirrt bin ich schon - hab aber eine
> Ahnung um was es hier geht.
Gut :)
> Allerdings habe ich noch zwei Fragen zu a) und b):
> Ich verstehe die Definition einer universellen Zerlegung
> nicht. Wie kann denn so eine Zerlegung aussehen?
Nun, ist die lineare Abb. etwa ueber eine Matrix wie [mm] $\pmat{ \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda }$, [/mm] dann ist die Zerlegung [mm] $K^n$ [/mm] selber (also genau ein einziger invarianter UVR).
Die Zerlegung ist einfach die Hauptraumzerlegung, auch Jordanzerlegung genannt.
> Die Inklusion in eine Richtung ist mir klar – allerding
> nicht in die andre Richtung (also warum U immer Teilmenge
> der direkten Summe ist).
Nun, das muss man ja gerade zeigen, damit es eine universelle Zerlegung ist.
Oder verstehe ich deine Frage falsch? Meinst du wie man das im konkreten Fall zeigen kann?
> Und warum gehst du davon aus, dass das charakteristische
> Polynom immer normiert ist?
Weil ich's schoener finde :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 22.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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