chara.polynom/eigenvektor < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Sa 29.01.2005 | | Autor: | Helpme |
hey,ihr müsst mir bitte dringend helfen,ich muss übermorgen meine hausaufgabe abgeben und komme mit ihr einfach nicht klar!
Ich habe A= [mm] \pmat{ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 7 & 0}
[/mm]
Es sei [mm] L_{D}: IR^{3}->IR^{3}: L_{D}( \overrightarrow{v}):=D\overrightarrow{v}
[/mm]
und nun soll ich mehrere Aufgaben lösen.
Erstmal das charakteristische Polynom der linearen Abbildung berechnen.Das einzige was ich weiß ist das [mm] p_{A}( \lambda):=det(A- \lambda I_{n}...oder [/mm] so...
also wollt ich nun [mm] machen->=det[\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda}-\pmat{ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 7 & 0}]=det\pmat{ \lambda & 5 & 0 \\ 0 & \lambda-8 & 0 \\ 0 & 7 & \lambda}
[/mm]
und jetzt weiß ich nicht mehr was ich machen soll.
ich soll ausserdem noch die eigenwerte sowie die eigenvektoren berechnen und ich weiß nicht wie!und definitionen helfen mir auch nicht weiter:(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 29.01.2005 | | Autor: | Helpme |
für das chara.polynom habe ich jetzt einfach weiter gemacht,also da wo ich beim obigen beitrag stehen geblieben bin= [mm] \lambda *(\lambda-8\lambda^{2})*\lambda [/mm] = [mm] \lambda^{2}(\lambda-8)=\lambda^{3}-8\lambda^{2}.
[/mm]
Ist das richtig so?Oder fehlen noch ein paar Schritte?
Eigenwert ist dann auch nicht mehr so schwer:
[mm] P_{A}=0=\lambda^{3}-8\lambda^{2}=\lambda^{2}(\lambda-8)
[/mm]
Eigenwerte also
[mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=8
[/mm]
So nun wollt ich noch an die Eigenvektoren,allerdings bin ich dort stehen geblieben.Meine Schritte
1.Eigenvektor
(A-0E) [mm] x_{1}=0 \Rightarrow [/mm] A [mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 7 & 0 } \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 5 x_{2} & 0 \\ 0 & 8 x_{2} & 0 \\ 0 & 7 x_{2} & 0 }= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Nun versuche ich das gleichungssystem die ganze Zeit mit Gauß zu lösen,aber irgendwie klappt es nicht,hab ich was falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:22 So 30.01.2005 | | Autor: | Alexx |
Du hast jetzt die Gleichung [mm] (5x_2, 8x_2, 7x_2) [/mm] = (0, 0, 0), ein Eigenvektor zum Eigenwert 0 muss also auf jeden Fall [mm] x_2 [/mm] = 0 erfüllen. [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] kannst Du beliebig wählen, mein Vorschlag wäre (1, 0, 0) als ersten Eigenvektor und (0, 0, 1) als zweiten Eigenvektor zum Eigenwert 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:04 So 30.01.2005 | | Autor: | SERIF |
[mm] machen->=det[\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda}-\pmat{ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 7 & 0}]=det\pmat{ \lambda & 5 & 0 \\ 0 & \lambda-8 & 0 \\ 0 & 7 & \lambda} [/mm]
Du hast nach deinem Formel, falsch eingesetz. Du soltest vom A die [mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda} [/mm] abziehen. Aber das ist trotzdem fast richtig.
[mm] det[\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda}-\pmat{ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 7 & 0}]=det\pmat{ \lambda & -5 & 0 \\ 0 & \lambda-8 & 0 \\ 0 & -7 & \lambda} [/mm] aso aufpassen. -5, und -7
Jetz kann man mit sarrus methode die Determinante finden. Ich mache das nicht hier ausführlich, das kennst du bestimmt.
Ich habe [mm] \lambda^{3}-8 \lambda^{3} [/mm] raus. DU hast auch aber später beim einsetzen deien Nullstelle hast du probleme mit deinem Ergebnis Matrix. Ich habe korigirt. mit minus zeichen ok?
Jetz kommen wir zu deinem Nullstellen. Ich mache es dir für die NBullstelle 8. Wenn du 8 einsetz da wo du ein zeichen fehler hattest kommt
[mm] \pmat{ 8& -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 8} [/mm] ok?
Jetz musst findet man die Eigenwektor durch gauß algorithmus.
Da du hier eine Zeile Null hast. brauchst du keine Gauß algorithmus mehr. Also man liest einfach ab.
Sagen wir mal
[mm] x_{3}=r [/mm] daraus folgt
[mm] x_{2}=8/7 [/mm] r daraus folgt
[mm] x_{1}=16/7 [/mm] r
so jetz kannst du für r alles außer 0 einsetzen. dan hast du eine eigenvektor für deine Nullstele 8 gefunden. Vergiss nicht du kannst für r alles einsetzen von mir aus 1457. es gibt unendlich viele passende eigenvektor. zb für r=1 ist
[mm] \vektor{16/7 \\ 8/7\\1} [/mm] eine eigenvektor für Nullstelle 8.
Also Jetz kannst du für deine alle Nullsttellen eine eigenvektor finden. Mit den Vektoren machst du eine 3*3 matrix. Dú nimmst du eigenvektoren als Spalte. Dann findest du die inverse zu deinem Matrix. Dann muss die Gleichun gelten [mm] C^{-1}*A*C=D
[/mm]
D ist eine Diagonal Matrix in dem deine Nullstellen zusehen ist. Ich höre jetz auf. wenn du noch fragen hast , kannst du dich noch mal meldenn.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:17 So 30.01.2005 | | Autor: | Alexx |
Der Eigenvektor ist leider nicht ganz richtig. Aus [mm] x_3 [/mm] = r folgt [mm] x_2 [/mm] = 8/7 r und damit [mm] x_1 [/mm] = 5/7 r. Am besten noch mit 7 multiplizieren, dann hast Du den Vektor (5, 8, 7) (Eigenvektor zum Eigenwert 8)
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