charak.Polynom, Eigenwerte ... < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo zusammen!
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Leider weiß ich absolut nicht, was zu tun ist.
Danke schon mal im vorraus für Lösungen, Lösungsansätze, Tips, etc.
Aufgabe:
Es seien
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 } [/mm] und M= [mm] \pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 1 }
[/mm]
Matrizen in [mm] \IQ^{3x3} [/mm] und [mm] f_{A}, f_{M} [/mm] die entsprechenden induzierten linearen Abbildungen [mm] \IQ^{3} \to \IQ^{3}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die charkteristischen Polynome [mm] \cal{X}_{A} [/mm] (x) und [mm] \cal{X}_{M} [/mm] (x).
b) Sind [mm] f_{A} [/mm] und [mm] f_{M} [/mm] diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie Basen [mm] B_{A} [/mm] bzw. [mm] B_{M} [/mm] von [mm] \IQ^{3}, [/mm] für welche [mm] f_{A}, f_{M} [/mm] diagonale Darstellungsmatrizen [mm] D_{B_{A},B_{A}}(f_{A}) [/mm] bzw. [mm] D_{B_{M},B_{M}}(f_{M}) [/mm] haben, und die entsprechenden Diagonalmatrizen [mm] D_{B_{A},B_{A}}(f_{A}) [/mm] und [mm] D_{B_{M},B_{M}}(f_{M}) [/mm] an.
c) Geben Sie einen echten Unterraum U [mm] \le \IQ^{3} [/mm] an, der keinen Eigenraum von [mm] f_{A} [/mm] und [mm] f_{A}-invariant [/mm] ist (d.h. [mm] \{0} \not= \cal{U} [/mm] < [mm] \IQ^{3} [/mm] und [mm] f_{A}(\cal{U}) \le \cal{U}).
[/mm]
Den einzigen Lösungsansatz den ich habe, habe ich für Teil a).
Ich muss die Nullstellen berechnen und mit
A´= [mm] \pmat{ 0-x & 1 & -3 \\ 1 & 1-x & 1 \\ -1 & 2 & 2-x } [/mm] und M´= [mm] \pmat{ 1-x & -2 & -2 \\ 2 & 3-x & 2 \\ -2 & 0 & 1-x } [/mm]
,wobei x der herausgefundenen Nullstelle entspricht, rechnen.
Aber den Rest der Aufgaben kann ich leider überhaupt nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Nette,
> Aufgabe:
>
> Es seien
>
> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 }[/mm] und M=
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 1 }
[/mm]
>
>
> Matrizen in [mm]\IQ^{3x3}[/mm] und [mm]f_{A}, f_{M}[/mm] die entsprechenden
> induzierten linearen Abbildungen [mm]\IQ^{3} \to \IQ^{3}.
[/mm]
>
>
> a) Bestimmen Sie die charkteristischen Polynome [mm]\cal{X}_{A}[/mm]
> (x) und [mm]\cal{X}_{M}[/mm] (x).
>
Das charakteristische Polynom ist definiert als:
[mm]det(A - \lambda E_3)[/mm], wobei [mm] $E_3$ [/mm] die dreidimensionale Einheitsmatrix ist. Du mußt also die Determinante der Matrizen A' und M' (wie du sie unten definiert hast) berechnen.
> b) Sind [mm]f_{A}[/mm] und [mm]f_{M}[/mm] diagonalisierbar? Falls ja, geben
> Sie Basen [mm]B_{A}[/mm] bzw. [mm]B_{M}[/mm] von [mm]\IQ^{3},[/mm] für welche [mm]f_{A}, f_{M}[/mm]
> diagonale Darstellungsmatrizen [mm]D_{B_{A},B_{A}}(f_{A})[/mm] bzw.
> [mm]D_{B_{M},B_{M}}(f_{M})[/mm] haben, und die entsprechenden
> Diagonalmatrizen [mm]D_{B_{A},B_{A}}(f_{A})[/mm] und
> [mm]D_{B_{M},B_{M}}(f_{M})[/mm] an.
>
Nach einem Satz, den ihr sicher in der VL hattet, sind Matrizen u.a. dann diagonalisierbar, wenn (nicht genau dann, wenn!) das charakteristische Polynom paarweise verschiedene Nullstellen hat. Vielleicht kannst du den Satz ja hier anwenden.
Für die Diagonalisierung lies vielleicht erstmal in einem Buch nach und stelle dann hier konkrete Fragen. Das Verfahren wird an einem Beispiel erläutert z.B. im Fischer: Lineare Algebra, S. 226-228.
> c) Geben Sie einen echten Unterraum U [mm]\le \IQ^{3}[/mm] an, der
> keinen Eigenraum von [mm]f_{A}[/mm] und [mm]f_{A}-invariant[/mm] ist (d.h.
> [mm]\{0} \not= \cal{U}[/mm] < [mm]\IQ^{3}[/mm] und [mm]f_{A}(\cal{U}) \le \cal{U}).
[/mm]
>
Vor der dritten Frage mache dir vielleicht erstmal die Lösung der ersten beiden klar.
> A´= [mm]\pmat{ 0-x & 1 & -3 \\ 1 & 1-x & 1 \\ -1 & 2 & 2-x }[/mm]
> und M´= [mm]\pmat{ 1-x & -2 & -2 \\ 2 & 3-x & 2 \\ -2 & 0 & 1-x }[/mm]
>
>
Wenn du dann konkrete Fragen hast, poste sie wieder hier!
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 18.01.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo!
> > Aufgabe:
> >
> > Es seien
> >
> > A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 }[/mm] und M=
>
> > [mm]\pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 1 }
[/mm]
> >
>
> >
> > Matrizen in [mm]\IQ^{3x3}[/mm] und [mm]f_{A}, f_{M}[/mm] die entsprechenden
>
> > induzierten linearen Abbildungen [mm]\IQ^{3} \to \IQ^{3}.
[/mm]
>
> >
> >
> > a) Bestimmen Sie die charkteristischen Polynome
> [mm]\cal{X}_{A}[/mm]
> > (x) und [mm]\cal{X}_{M}[/mm] (x).
> >
>
> Das charakteristische Polynom ist definiert als:
> [mm]det(A - \lambda E_3)[/mm], wobei [mm]E_3[/mm] die dreidimensionale
> Einheitsmatrix ist. Du mußt also die Determinante der
> Matrizen A' und M' (wie du sie unten definiert hast)
> berechnen.
Meine Lösung:
für A habe ich das charak. Polynom: [mm] -x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] + 4x - 12
für M habe ich das charak. Polynom: [mm] -x^{3} [/mm] + [mm] 5x^{2} [/mm] - 7x + 3
> > b) Sind [mm]f_{A}[/mm] und [mm]f_{M}[/mm] diagonalisierbar? Falls ja, geben
>
> > Sie Basen [mm]B_{A}[/mm] bzw. [mm]B_{M}[/mm] von [mm]\IQ^{3},[/mm] für welche [mm]f_{A}, f_{M}[/mm]
>
> > diagonale Darstellungsmatrizen [mm]D_{B_{A},B_{A}}(f_{A})[/mm]
> bzw.
> > [mm]D_{B_{M},B_{M}}(f_{M})[/mm] haben, und die entsprechenden
> > Diagonalmatrizen [mm]D_{B_{A},B_{A}}(f_{A})[/mm] und
> > [mm]D_{B_{M},B_{M}}(f_{M})[/mm] an.
> >
>
> Nach einem Satz, den ihr sicher in der VL hattet, sind
> Matrizen u.a. dann diagonalisierbar, wenn (nicht genau
> dann, wenn!) das charakteristische Polynom paarweise
> verschiedene Nullstellen hat. Vielleicht kannst du den Satz
> ja hier anwenden.
> Für die Diagonalisierung lies vielleicht erstmal in einem
> Buch nach und stelle dann hier konkrete Fragen. Das
> Verfahren wird an einem Beispiel erläutert z.B. im Fischer:
> Lineare Algebra, S. 226-228.
Meine Lösung:
durch die Nullstellenberechnung habe ich für A die EW -2, 2, 3 und für M die EW 1 und 3.
dann habe ich Eig(A,-2), Eig(A.2), Eig(A,3), Eig(M,1) und Eig(M,3) berechnet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
Eig(A,2) = [mm] Kern((A-I_{3}) [/mm] = < [mm] \pmat{-2 \\ -1 \\ 1} [/mm] >
Eig(A,-2) = [mm] Kern((A-I_{3}) [/mm] = < [mm] \pmat{2 \\ -1 \\ 1} [/mm] >
Eig(A,3) = [mm] Kern((A-I_{3}) [/mm] = < [mm] \vektor{ \bruch{-21} {5} \\ \bruch{-8} {5} \\ 1} [/mm] >
Daraus folgt, dass A diagonalisierbar ist.
eine Basis ist also [mm] \{ \vektor{2 \\ -1 \\ 1}, \vektor{-2 \\ -1 \\ 1}, \vektor{-21/5 \\ -8/5 \\ 1 } \}
[/mm]
Ist die Reihenfolge meiner Basis richtig?
Eig(M,1) = [mm] Kern((M-I_{3}) [/mm] = < [mm] \pmat{0 \\ -1 \\ 1} [/mm] >
Eig(M,3) = [mm] Kern((M-I_{3}) [/mm] = < [mm] \pmat{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] >
Daraus folgt, dass M nicht diag. ist.
Nun verlangt ja die Aufgabenstellung, dass ich die diagonale Darstellungsmatrix und die Diagonalmatrix von meiner Basis berechne.
Die Diagonalmatrix ist ja einfach nur die EW auf der Diagonalen und sonst Nullen. Also:
[mm] \pmat{-2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3} [/mm] oder muss ich eine bestimmte Reihenfolge zum Einsetzen der EW beachten?
Für die diagonale Darstellungsmatrix muss ich nun:
meine Basis und meine Diagonalmatrix nehmen.
[mm] \pmat{2 & -2 & -21/8 & -2 & 0 & 0 & \\ -1 & -1 & -8/5 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
Die Basis muss ich jetzt auf die Einheitsmatrix bringen und das was erst meine Diagonalmatrix war, ist dann mein [mm] D_{B}_{A},D_{B}_{A}. [/mm] Oder?
Eine Frage noch? Warum ist in der Aufgabenstellung die Diagonalmatrix und die diagonale Darstellungsmatrix gleich benannt [mm] (D_{B}_{A},D_{B}_{A})?
[/mm]
> > c) Geben Sie einen echten Unterraum U [mm]\le \IQ^{3}[/mm] an, der
>
> > keinen Eigenraum von [mm]f_{A}[/mm] und [mm]f_{A}-invariant[/mm] ist (d.h.
>
> > [mm]\{0} \not= \cal{U}[/mm] < [mm]\IQ^{3}[/mm] und [mm]f_{A}(\cal{U}) \le \cal{U}).
[/mm]
>
> >
>
> Vor der dritten Frage mache dir vielleicht erstmal die
> Lösung der ersten beiden klar.
>
Zu c) habe ich leider keinen Ansatz! Was genau bedeutet "Invariant"?
Ist meine Berechnung soweit richtig? Und wie muss ich bei c) verfahren?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Nette,
Da hast du ja schön gerechnet... 
> a)
> Meine Lösung:
> für A habe ich das charak. Polynom: [mm]-x^{3}[/mm] + [mm]3x^{2}[/mm] + 4x -
> 12
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> für M habe ich das charak. Polynom: [mm]-x^{3}[/mm] + [mm]5x^{2}[/mm] - 7x +
> 3
>
> b)
> Meine Lösung:
> durch die Nullstellenberechnung habe ich für A die EW -2,
> 2, 3 und für M die EW 1 und 3.
>
> dann habe ich Eig(A,-2), Eig(A.2), Eig(A,3), Eig(M,1) und
> Eig(M,3) berechnet und bin zu folgendem Ergebnis
> gekommen:
>
> Eig(A,2) = [mm]Kern((A-I_{3})[/mm] = < [mm]\pmat{-2 \\ -1 \\ 1}[/mm] >
> Eig(A,-2) = [mm]Kern((A-I_{3})[/mm] = < [mm]\pmat{2 \\ -1 \\ 1}[/mm] >
> Eig(A,3) = [mm]Kern((A-I_{3})[/mm] = < [mm]\vektor{ \bruch{-21} {5} \\ \bruch{-8} {5} \\ 1}[/mm]
> >
>
> Daraus folgt, dass A diagonalisierbar ist.
>
> eine Basis ist also [mm]\{ \vektor{2 \\ -1 \\ 1}, \vektor{-2 \\ -1 \\ 1}, \vektor{-21/5 \\ -8/5 \\ 1 } \}
[/mm]
>
>
> Ist die Reihenfolge meiner Basis richtig?
>
![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]")
Die Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren (die ja das Erzeugendensystem sind), also ist die Reihenfolge egal.
> Eig(M,1) = [mm]Kern((M-I_{3})[/mm] = < [mm]\pmat{0 \\ -1 \\ 1}[/mm] >
> Eig(M,3) = [mm]Kern((M-I_{3})[/mm] = < [mm]\pmat{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] >
>
> Daraus folgt, dass M nicht diag. ist.
>
> Nun verlangt ja die Aufgabenstellung, dass ich die
> diagonale Darstellungsmatrix und die Diagonalmatrix von
> meiner Basis berechne.
>
> Die Diagonalmatrix ist ja einfach nur die EW auf der
> Diagonalen und sonst Nullen. Also:
>
> [mm]\pmat{-2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
> oder muss ich eine bestimmte Reihenfolge zum Einsetzen der EW beachten?
>
Am besten, du setzt die Eigenwerte in derselben Reihenfolge ein, wie du auch deine Basisvektoren hast.
> Für die diagonale Darstellungsmatrix muss ich nun:
>
> meine Basis und meine Diagonalmatrix nehmen.
>
> [mm]\pmat{2 & -2 & -21/8 & -2 & 0 & 0 & \\ -1 & -1 & -8/5 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
>
>
> Die Basis muss ich jetzt auf die Einheitsmatrix bringen und
> das was erst meine Diagonalmatrix war, ist dann mein
> [mm]D_{B}_{A},D_{B}_{A}.[/mm] Oder?
>
>
Ich weiß nicht ganz, was du hier machen möchtest. Die Darstellungsmatrix der Abbildung bzgl. deiner neuen Basis aus Eigenvektoren ist eine Diagonalmatrix. Damit hast du die Aufgabe schon erfüllt.
Denn was sagt denn die Matrix aus? In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren. Wenn also ein Basisvektor gerade ein Eigenvektor ist, dann wird er eben einfach auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet. Daher steht in jeder Spalte nur ein Eintrag.
> Eine Frage noch? Warum ist in der Aufgabenstellung die
> Diagonalmatrix und die diagonale Darstellungsmatrix gleich
> benannt [mm](D_{B}_{A},D_{B}_{A})?
[/mm]
>
>
Weil sie meiner Meinung nach dasselbe sind!
> > > c) Geben Sie einen echten Unterraum U [mm]\le \IQ^{3}[/mm] an,
> der
> >
> > > keinen Eigenraum von [mm]f_{A}[/mm] und [mm]f_{A}-invariant[/mm] ist
> (d.h.
> >
> > > [mm]\{0} \not= \cal{U}[/mm] < [mm]\IQ^{3}[/mm] und [mm]f_{A}(\cal{U}) \le \cal{U}).
[/mm]
>
> Zu c) habe ich leider keinen Ansatz! Was genau bedeutet
> "Invariant"?
>
Ein Raum U ist invariant, wenn jedes Element aus diesem Raum wieder auf ein Element auf U abgebildet wird.
Irgendwie fehlen in deiner Fragestellung ein paar Worte, kannst du bitte noch einmal nachschauen?
Viele Grüße
Astrid
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo!
Ersteinmal vielen lieben Dank, dass Du Dir die Zeit nimmst, mir zu helfen.
"Leider" ist die Fragestellung zu 1.c) vollständig.
Und ich verstehe die Frage leider auch nicht.
Ich habe gesehen, dass ein anderer Komilitone die Frage auch gestellt hat. Leider hat auf diese Frage auch noch niemand geantwortet.
Wenn Dir noch etwas einfällt, wäre ich Dir dankbar, wenn Du mir hilfst.
MfG
Nette
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Astrid |
> Hallo!
>
> Ersteinmal vielen lieben Dank, dass Du Dir die Zeit nimmst,
> mir zu helfen.
>
> "Leider" ist die Fragestellung zu 1.c) vollständig.
> Und ich verstehe die Frage leider auch nicht.
> Ich habe gesehen, dass ein anderer Komilitone die Frage
> auch gestellt hat. Leider hat auf diese Frage auch noch
> niemand geantwortet.
>
Hat der Kommilitone diese Frage auch hier im Matheraum gestellt? Wenn ja, kannst du bitte den Link hier einfügen? Damit sich nicht zwei Leute gleichzeitig dieselbe Arbeit machen... Danke.
Viele Grüße
Astrid
> Wenn Dir noch etwas einfällt, wäre ich Dir dankbar, wenn Du
> mir hilfst.
>
Ich schau es mir nochmal an.
> MfG
> Nette
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Astrid |
Nochmals hallo Nette,
ich vermute, die folgende Fragestellung steckt hinter der Aufgabe c)
"Geben sie einen echten Unterraum [mm] $\cal{U}$ [/mm] an, der kein Eigenraum von [mm] $f_A$ [/mm] ist, aber [mm] $f_A$-invariant."
[/mm]
Das bedeutet, du sollst einen Unterraum finden,
der kein Eigenraum ist, d.h. er besteht nicht nur aus Eigenvektoren,
und der [mm] f_A [/mm] invariant ist, d.h. das Bild eines jeden Vektors aus [mm] $\cal{U}$ [/mm] liegt wieder in [mm] $\cal{U}$.
[/mm]
Wenn du nun z.B. den Raum betrachtest, der von zwei Eigenvektoren $x$ und $y$ zu verschiedenen Eigenwerten aufgespannt wird, dann gibt es kein [mm] \nu [/mm] so dass $Az = [mm] \nu [/mm] z$ für jedes $z [mm] \in \cal{U}$.
[/mm]
Es gilt aber, da $x$ Eigenvektor zu einem Eigenwert, sagen wir [mm] \lambda, [/mm] ist und $y$ Eigenvektor zu einem Eigenwert, sagen wir [mm] \mu, [/mm] ist:
$Ax = [mm] \lambda [/mm] x$ und $Ay = [mm] \mu [/mm] y$.
Versuchen wir zu zeigen, dass [mm] $f_A(\cal{U}) \subset \cal{U}$:
[/mm]
Nach Erzeugung von [mm] $\cal{U}$ [/mm] gilt für jedes $u [mm] \in \cal{U}$:
[/mm]
[mm] $u=a_1 [/mm] x + [mm] a_2 [/mm] y$ mit [mm] $a_1, a_2 \in \IR$. [/mm] Daher:
$Au = [mm] A(a_1 [/mm] x + [mm] a_2 y)=a_1 [/mm] Ax + [mm] a_2 [/mm] Ay = [mm] a_1 \lambda [/mm] x + [mm] a_2 \mu [/mm] y [mm] \in \cal{U}$.
[/mm]
Damit ist das von uns erzeugte [mm] $\cal{U}$ [/mm] ein [mm] $f_A$-invarianter [/mm] Unterraum!
Konnte ich dir helfen?
Viele Grüße
Astrid
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