charak. Polynom und Eigenwert < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Sa 21.01.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Bestimmte das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenwertvektoren von [mm] A=\pmat{ 1 & 2&0&4 \\ 0 & 2&3&1\\0&0&3&0\\0&0&0&3 }. [/mm] Ist A diagonalisierbar? |
Also liebe Freunde der Sonne:
charakteristische Polynom: [mm] A=\pmat{ 1-\lambda & 2&0&4 \\ 0 & 2-\lambda&3&1\\0&0&3-\lambda&0\\0&0&0&3-\lambda }. [/mm] Dann hab ich ganz normal die Determinate ausgerechnet:
[mm] A=\pmat{ 2-\lambda&3&1\\0&3-\lambda&0\\0&0&3-\lambda }=(1-\lambda)*(2-\lambda)* A=\pmat{ 3-\lambda&0\\0&3-\lambda }=\lambda^4-9\lambda^3+29\lambda^2-39\lambda+18
[/mm]
So das war ein langer weg. Dann muss ich Polynomdivision machen und bekomm dann die paar Werte für [mm] \lambda [/mm] raus.
Jetzt hab ich aber was entdeckt: Multipliziert man die Diagonalen, so erhalte ich direkt unten die Gleichung...wieso das so ist, weiß ich nicht, aber die Diagonale sah aus wie Linearfaktoren und diese waren doch wichtig für die Bestimmtung der Diagonalisierbarkeit oder? Was war nochmal das Kriterium der Diagonalisierbarkeit?
Ich bedanke mich im Voraus!
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Hallo durden88,
> Bestimmte das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und
> Eigenwertvektoren von [mm]A=\pmat{ 1 & 2&0&4 \\ 0 & 2&3&1\\0&0&3&0\\0&0&0&3 }.[/mm]
> Ist A diagonalisierbar?
> Also liebe Freunde der Sonne:
>
> charakteristische Polynom: [mm]A=\pmat{ 1-\lambda & 2&0&4 \\ 0 & 2-\lambda&3&1\\0&0&3-\lambda&0\\0&0&0&3-\lambda }.[/mm]
> Dann hab ich ganz normal die Determinate ausgerechnet:
>
> [mm]A=\pmat{ 2-\lambda&3&1\\0&3-\lambda&0\\0&0&3-\lambda }=(1-\lambda)*(2-\lambda)* A=\pmat{ 3-\lambda&0\\0&3-\lambda }=\lambda^4-9\lambda^3+29\lambda^2-39\lambda+18[/mm]
>
> So das war ein langer weg. Dann muss ich Polynomdivision
> machen und bekomm dann die paar Werte für [mm]\lambda[/mm] raus.
>
> Jetzt hab ich aber was entdeckt: Multipliziert man die
> Diagonalen, so erhalte ich direkt unten die
> Gleichung...wieso das so ist, weiß ich nicht, aber die
> Diagonale sah aus wie Linearfaktoren und diese waren doch
> wichtig für die Bestimmtung der Diagonalisierbarkeit oder?
Ja.
A ist eine Diagonalmatrix, die Einheitsmatrix ebenfalls.
Bildest Du jetzt [mm]A-\lambda*I[/mm], so handelt es sich ebenfalls eine Diagonalmatrix.
Die Determinante einer Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt
ihrer Diagonalelemente.
> Was war nochmal das Kriterium der Diagonalisierbarkeit?
>
Die algebraische Vielfachheit muss mit der geometrischen
Vielfachheit eines jeden Eigenwertes übereinstimmen.
> Ich bedanke mich im Voraus!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 22.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Sodelle, dann hab ich die Polynomdivision ausgerechnet und habe für [mm] \lambda_1= [/mm] 3 und für [mm] lambda_2=1 [/mm] heraus. Meine algebraische Vielfachheit ist also schonmal 2, richt?
Nun habe ich [mm] \lambda_1=3 (A-\lambda_E)\vec{v}=\vec{0}
[/mm]
Für die Matrix ergibt sich somit:
[mm] \pmat{ -2 & 2&0&4 \\ 0 & -1&3&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }=0
[/mm]
Dann -2*II+I/2
[mm] \pmat{ -1 & 3&-6&0 \\ 0 & -1&3&1}=0
[/mm]
Setze [mm] x_2=t [/mm] und [mm] x_3=s
[/mm]
[mm] x_4=x_2-3x_3
[/mm]
[mm] x_4=t-3s
[/mm]
[mm] -x_1=-3x_2+6x_3 [/mm] /:(-1)
[mm] x_1=3x_2-6x_3
[/mm]
[mm] x_1=3t-6s
[/mm]
Eig(A, [mm] \lambda=3)=t*\vektor{3 \\ 1\\0\\1}+s*\vektor{-6 \\ 0\\1\\-3}
[/mm]
Algebraische Vielfachheit: 2
Geometrische Vielfachheit: 2
--> Diagonalisierbar
Fall [mm] \lambda_2=1
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 2&0&4 \\ 0 & 1&3&1\\0&0&2&0\\0&0&0&2 }=0
[/mm]
Daraus folgt: [mm] x_4=0 [/mm] und [mm] x_3=0, x_2=0 [/mm] und [mm] x_1=0
[/mm]
Eig(A, [mm] \lambda=1)=\vektor{0 \\ 0\\0\\0}
[/mm]
Algebraische Vielfachheit: 2
Geometrische Vielfachheit: 1
Somit nicht Diagonalisierbar...
Ist da sso korrekt? Sry für die Schreibweise mit dem =0, kommt nicht wieder vor.
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Hallo durden88,
> Sodelle, dann hab ich die Polynomdivision ausgerechnet und
> habe für [mm]\lambda_1=[/mm] 3 und für [mm]lambda_2=1[/mm] heraus. Meine
> algebraische Vielfachheit ist also schonmal 2, richt?
>
> Nun habe ich [mm]\lambda_1=3 (A-\lambda_E)\vec{v}=\vec{0}[/mm]
>
> Für die Matrix ergibt sich somit:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 2&0&4 \\ 0 & -1&3&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }=0[/mm]
>
> Dann -2*II+I/2
>
> [mm]\pmat{ -1 & 3&-6&0 \\ 0 & -1&3&1}=0[/mm]
>
> Setze [mm]x_2=t[/mm] und [mm]x_3=s[/mm]
>
> [mm]x_4=x_2-3x_3[/mm]
> [mm]x_4=t-3s[/mm]
>
> [mm]-x_1=-3x_2+6x_3[/mm] /:(-1)
> [mm]x_1=3x_2-6x_3[/mm]
> [mm]x_1=3t-6s[/mm]
>
> Eig(A, [mm]\lambda=3)=t*\vektor{3 \\ 1\\0\\1}+s*\vektor{-6 \\ 0\\1\\-3}[/mm]
>
> Algebraische Vielfachheit: 2
> Geometrische Vielfachheit: 2
> --> Diagonalisierbar
>
> Fall [mm]\lambda_2=1[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2&0&4 \\ 0 & 1&3&1\\0&0&2&0\\0&0&0&2 }=0[/mm]
>
> Daraus folgt: [mm]x_4=0[/mm] und [mm]x_3=0, x_2=0[/mm] und [mm]x_1=0[/mm]
>
> Eig(A, [mm]\lambda=1)=\vektor{0 \\ 0\\0\\0}[/mm]
>
Hier muss doch der Eigenvektor lauten: [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\0}[/mm]
> Algebraische Vielfachheit: 2
> Geometrische Vielfachheit: 1
>
> Somit nicht Diagonalisierbar...
>
Darüber musst noch mal nachdenken.
> Ist da sso korrekt? Sry für die Schreibweise mit dem =0,
> kommt nicht wieder vor.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 So 22.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Algebraische Vielfachheit: 2
warum sollte die alg. Vielfachheit vom Eigenwert 1 gleich 2 sein?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 22.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Ich verstehe deine Frage nicht? Meine algebraische Vielfachheit ist doch die Anzahl meiner Eigenwerte, und diese sind doch [mm] \lambda_1=3 [/mm] und [mm] \lambda_2=1. [/mm] SO und die Geometrische Vielfachheit ist doch die Anzahl meiner Eigenvektoren:
Hab ich bei [mm] \lambda_1 [/mm] genau 2 Stück und bei [mm] \lambda_2 [/mm] den Nullvektor?
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Hallo durden88,
> Ich verstehe deine Frage nicht? Meine algebraische
> Vielfachheit ist doch die Anzahl meiner Eigenwerte, und
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes, ist
deren Vielfachheit im charakteristischen Polynom.
> diese sind doch [mm]\lambda_1=3[/mm] und [mm]\lambda_2=1.[/mm] SO und die
> Geometrische Vielfachheit ist doch die Anzahl meiner
> Eigenvektoren:
>
> Hab ich bei [mm]\lambda_1[/mm] genau 2 Stück und bei [mm]\lambda_2[/mm] den
> Nullvektor?
Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 22.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Hmmm...ok, und was heißt das nun konkret für meine AUfgabe? Habe ich überhaupt richtig gerechnet, also stimmen die Ergebnisse?
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Hallo durden88,
> Hmmm...ok, und was heißt das nun konkret für meine
> AUfgabe? Habe ich überhaupt richtig gerechnet, also
> stimmen die Ergebnisse?
Deine Ergebnisse stimmen für den Eigenwert 3,
der die algebraische Vielfachheit 2 besitzt.
Den Eigenvektor zum Eigenwert 1 musst Du nochmal nachrechnen.
Es gibt einen weiteren Eigenwert, deren Berechnung fehlt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 22.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Kann ich nicht auch anhand der linearfaktoren Argumentieren?
Dann hab ich die Eigenwerte [mm] \lambda_1= [/mm] 1, [mm] \lambda_2=2 [/mm] und [mm] lambda_3=3 [/mm] oder? Auch besagt eine Regel: Wenn ich stets paarweise verschiedene LF besitze, so ist A diagonalisierbar. Joa und das ist doch gegeben oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich nicht auch anhand der linearfaktoren
> Argumentieren?
>
> Dann hab ich die Eigenwerte [mm]\lambda_1=[/mm] 1, [mm]\lambda_2=2[/mm] und
> [mm]\lambda_3=3[/mm] oder? Auch besagt eine Regel: Wenn ich stets
> paarweise verschiedene LF
Was bedeutet LF ?
> besitze, so ist A
> diagonalisierbar. Joa und das ist doch gegeben oder?
Ja, aber ein klein wenig solltest Du noch tun:
Addiere in
Edit: da stand Unfug von mir.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Mo 23.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> > Kann ich nicht auch anhand der linearfaktoren
> > Argumentieren?
> >
> > Dann hab ich die Eigenwerte [mm]\lambda_1=[/mm] 1, [mm]\lambda_2=2[/mm] und
> > [mm]\lambda_3=3[/mm] oder? Auch besagt eine Regel: Wenn ich stets
> > paarweise verschiedene LF
>
>
> Was bedeutet LF ?
ich denke er meint Linearfaktor.
> > besitze, so ist A
> > diagonalisierbar. Joa und das ist doch gegeben oder?
>
> Ja, aber ein klein wenig solltest Du noch tun:
>
> Addiere in
>
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2&0&4 \\ 0 & 2&3&1\\0&0&3&0\\0&0&0&3 }.[/mm]
>
> das -2 fache der 2. Zeile auf die erste. Dann sieht man
> sofort:
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] 1, [mm]\lambda_2=2[/mm] und [mm]\lambda_3=3[/mm] sind Eigenwerte
> von A und die Standardbasis des [mm]\IR^4[/mm] ist eine Basis aus
> Eigenvektoren.
Das bezweifle ich: eine Matrix, fuer die die Standardbasis des [mm] $K^n$ [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren ist, muss bereits eine Diagonalmatrix sein. Hier ist offenbar nur [mm] $e_1$ [/mm] ein Eigenvektor, [mm] $e_2, e_3, e_4$ [/mm] sind ganz bestimmt keine.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred,
>
> > > Kann ich nicht auch anhand der linearfaktoren
> > > Argumentieren?
> > >
> > > Dann hab ich die Eigenwerte [mm]\lambda_1=[/mm] 1, [mm]\lambda_2=2[/mm] und
> > > [mm]\lambda_3=3[/mm] oder? Auch besagt eine Regel: Wenn ich stets
> > > paarweise verschiedene LF
> >
> >
> > Was bedeutet LF ?
>
> ich denke er meint Linearfaktor.
>
> > > besitze, so ist A
> > > diagonalisierbar. Joa und das ist doch gegeben oder?
> >
> > Ja, aber ein klein wenig solltest Du noch tun:
> >
> > Addiere in
> >
> >
> > [mm]A=\pmat{ 1 & 2&0&4 \\ 0 & 2&3&1\\0&0&3&0\\0&0&0&3 }.[/mm]
> >
> > das -2 fache der 2. Zeile auf die erste. Dann sieht man
> > sofort:
> >
> > [mm]\lambda_1=[/mm] 1, [mm]\lambda_2=2[/mm] und [mm]\lambda_3=3[/mm] sind Eigenwerte
> > von A und die Standardbasis des [mm]\IR^4[/mm] ist eine Basis aus
> > Eigenvektoren.
>
> Das bezweifle ich: eine Matrix, fuer die die Standardbasis
> des [mm]K^n[/mm] eine Basis aus Eigenvektoren ist, muss bereits eine
> Diagonalmatrix sein. Hier ist offenbar nur [mm]e_1[/mm] ein
> Eigenvektor, [mm]e_2, e_3, e_4[/mm] sind ganz bestimmt keine.
Hallo Felix, Du hast recht. Das war Quatsch von mir
Gruß FRED
>
> LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mo 23.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Ok, dann lasst es uns angehen.
Die algebraische Vielfachheit ist die Anzahl meiner Eigenwerte, oder? In diesem Fall habe ich drei an der Zahl, das heißt [mm] \lambda_1=1, \lambda_2=2 [/mm] und [mm] \lambda_3=3 [/mm] , richtig? Also beudetet das, dass meine algebraische Vielfachheit=3 ist oder? Oder mus ich für jeden Eigenwert einzelnt gucken, dass heißt z.B. bei [mm] \lambda_3=3 [/mm] ist meine Algebraische Vielfachheit 1 und meine Geometrische Vielfachheit 2?
Jetzt die Geometrische Vielfachheit: Das ist doch die Anzahl meiner Eigenvektoren, das heißt ich schaue, wieviele Eigenvektoren ich bekomme?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A, so ist die algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda= [/mm] Vielfachheit der Nullstelle [mm] \lambda [/mm] des char. Polynoms und geometrische Vielfachheit= dim kern(A- [mm] \lambda [/mm] E)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mo 23.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Ja gut, dann nehmen wir mal den Fall [mm] \lambda=3.
[/mm]
Dann ist doe algebraische Vielfachheit=3?
Und [mm] Eig(A,\lambda=3)=t*\vektor{3 \\ 1\\0\\1}+s*\vektor{-6 \\ 0\\1\\-3}, [/mm] so ist meine geometrische Vielfachheit, wegen [mm] <\vektor{-6 \\ 0\\1\\-3}, \vektor{3 \\ 1\\0\\1}> [/mm] , =2?
Also, nicht diagonalisierbar?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja gut, dann nehmen wir mal den Fall [mm]\lambda=3.[/mm]
>
> Dann ist doe algebraische Vielfachheit=3?
Nein. Die ist =2
>
> Und [mm]Eig(A,\lambda=3)=t*\vektor{3 \\ 1\\0\\1}+s*\vektor{-6 \\ 0\\1\\-3},[/mm]
> so ist meine geometrische Vielfachheit, wegen [mm]<\vektor{-6 \\ 0\\1\\-3}, \vektor{3 \\ 1\\0\\1}>[/mm]
> , =2?
Ja
>
> Also, nicht diagonalisierbar?
Doch, diagonalisierbar.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mo 23.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Au Backe, ja genau. Weil ich habe zwei linearfaktoren [mm] (3-\lambda), [/mm] also eine doppelte Nullstelle dort und deswegen ist dort die algebraische Vielfachheit =2 richtig?
Bei [mm] \lambda=1 [/mm] und [mm] \lambda=2 [/mm] ist sie jeweils 1 richtig?
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Hallo durden88,
> Au Backe, ja genau. Weil ich habe zwei linearfaktoren
> [mm](3-\lambda),[/mm] also eine doppelte Nullstelle dort und
> deswegen ist dort die algebraische Vielfachheit =2
> richtig?
Das wäre dann richtig
>
> Bei [mm]\lambda=1[/mm] und [mm]\lambda=2[/mm] ist sie jeweils 1 richtig?
Besser wär's, du würdest in diesem ganzen thread-Wust mal das char. Polynom nochmal aufschreiben, ich habe es beim Überfliegen jedenfalls nicht gesehen ...
Aber da du eine [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix hast, das char. Polynom also den Grad 4 hat, kommt das mit deinen Vielfachheiten hin.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Sa 21.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Bestimmte das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und
> Eigenwertvektoren von [mm]A=\pmat{ 1 & 2&0&4 \\ 0 & 2&3&1\\0&0&3&0\\0&0&0&3 }.[/mm]
> Ist A diagonalisierbar?
>
> charakteristische Polynom: [mm]A=\pmat{ 1-\lambda & 2&0&4 \\ 0 & 2-\lambda&3&1\\0&0&3-\lambda&0\\0&0&0&3-\lambda }.[/mm]
So darfst du das nicht hinschreiben. Die Matrix $A$ ist nicht gleich der Matrix, die du da rechts vom Gleichheitszeichen stehen hast! Da steht die Matrix $A - [mm] \lambda E_4$.
[/mm]
> Dann hab ich ganz normal die Determinate ausgerechnet:
>
> [mm]A=\pmat{ 2-\lambda&3&1\\0&3-\lambda&0\\0&0&3-\lambda }=(1-\lambda)*(2-\lambda)* A=\pmat{ 3-\lambda&0\\0&3-\lambda }=\lambda^4-9\lambda^3+29\lambda^2-39\lambda+18[/mm]
Auch das hier darfst du so nicht schreiben! Hier ist ein wildes Gemisch aus Polynomen, Matrizen verschiedenes Formates, und sogar Produkten von Matrizen und Polynomen!
> So das war ein langer weg. Dann muss ich Polynomdivision
> machen und bekomm dann die paar Werte für [mm]\lambda[/mm] raus.
Wenn du die Linearfaktoren die du schon hattest nicht erst ausmultipliziert haettest, dann braeuchtest du wesentlich weniger (und einfachere) Polynomdivision...
LG Felix
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