charakeristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper.
1. Seien [mm] a_0, [/mm] ..., [mm] a_n \in [/mm] K. Bestimmen sie das charakteristische Poylnom der Matrix:
[mm] A=\pmat{0 & 0 & 0 & \ldots & & -a_0 \\ 1 & 0 & 0 & & & -a_1 \\ 0 & 1 & 0 & & & -a_2 \\ \vdots & & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & \vdots & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & & & 1 & -a_{n-1}}
[/mm]
2. Zeigen Sie, dass es zu jedem nomierten Polynom f [mm] \in [/mm] K[X] eine Matrix gibt, sodass f das charakteristische Polynom von A ist. |
Hallo zusammen,
haben ein paar Probleme mit dieser Aufgaben.
zu 1.) Weiß, wie man das charakteristische Polynom einer Matrix ausrechnet:
[mm] p_A(x)=det [/mm] ( x*1I - A)
Aber wie muss ich denn hier vorgehen um es berechnen zu können?? A ist ja [mm] \in M_n(K). [/mm] müsste das ja in abhängigkeit von n was sein. Habe schon versucht durch sppaltenvertauschungen was zu vereinfachen, aber dabei ändert sich ja immer die Determinante von um (-1). Weis nicht so recht wie ich hier am geschicktesten rangehen muss...:-(
zu 2) hier habe ich leider so fast garkeine ahnung. Weiß zwar was ein normiertes polynom ist (Koeffizient der höchsten Potenz ist 1), aber was ich jetzt hier zu tun habe, is mir leider nicht ganz klar!!
Hoffe auf eure Hilfe!!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
rechne doch einfach einmal die charakteristischen Polynome der Matrix für n=2,3 und eventl. n=4 aus. Dann beweise die dann sehr naheliegende Vermutung mittels Induktion. Der zweite Teil der Aufgabe ergibt sich, wie Du sehen wirst,sofort aus dem ersten. Irgendetwas mit Deinen Vorzeichen stimmt nicht.
Volker
|
|
|
| |
|
ok habe das so gemacht.
bekomme, dann folgendes raus:
für n=2 : [mm] x^2+a_1x+a_o
[/mm]
für n=3: [mm] x^3+a_2x^2+a_1x+a_o
[/mm]
für n=4: [mm] x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
[/mm]
weiß für jedes [mm] n\ge [/mm] 2: hat das characteristische Polynom die form:
[mm] x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0 [/mm] oder??
aber wie verpacke ich das jetztin einen schönen Induktionsbeweis??
viele Grüße, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
das sieht ja gut aus. Jetzt mußt Du nur die Determinante nach der ersten Spalte entwickeln und die Induktionsvoraussetzung benutzen, d.h. benutze
[mm] X(X^{n-1}+a_{n-1}X^{n-2}+\ldots+a_1)+a_0\cdot1 =X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0
[/mm]
und fertig.
Volker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Es muß natürlich Zeile heißen. Volker
|
|
|
| |
|
hallo nochmal,
> Hallo,
>
> das sieht ja gut aus. Jetzt mußt Du nur die Determinante
> nach der ersten Spalte entwickeln und die
> Induktionsvoraussetzung benutzen, d.h. benutze
>
> [mm]X(X^{n-1}+a_{n-1}X^{n-2}+\ldots+a_1)+a_0\cdot1 =X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0[/mm]
>
Muss nochmal nachfragen, steige leider immernoch nicht dahinter. ich will doch beweisen, dass für alle [mm] n\ge [/mm] 2 das charakteristische Polynom die folm hat: [mm] X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0
[/mm]
oder??
so der induktionsanfang habe ich ja durch meine Beispiele erledigt, also ist meine Vorraussetzung ja :
es gilt [mm] X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0 [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2 beliebig aber fest.
jetzt der induktionsschluss: n [mm] \to [/mm] n+1
wie gehe ich denn jetzt da vor??
habe das noch nicht ganz geschnallt!!Sorry,
lg, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
hallo zusammen,
ich bekommen das verflucht nochmal nicht auf die Kette wie ich den induktionsschritt zu führen habe!!!
hoffe jemand kann mir helfen, ich habs doch schon fast....aber am I-Schritt scheitere ich ....mist...
naja hoffe auf eure Hilfe! Viele Grüße, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
versuche doch mal für n=3 die Determinante [mm] \det(X-A) [/mm] durch Entwicklung nach der ersten Zeile auszurechnen. Es ist wirklich nicht schwer:
[mm] \det(X-A_3)=\vmat{ X & 0 & a_0 \\ -1 & X & a_1 \\ 0 & -1 & X+a_2 }=X\vmat{X & a_1 \\ -1 & X+a_2}+0+(-1)^2 a_0 \vmat{-1 & X \\ 0 &-1}=\ldots
[/mm]
Volker
|
|
|
| |
|
hallo,
> versuche doch mal für n=3 die Determinante [mm]\det(X-A)[/mm] durch
> Entwicklung nach der ersten Zeile auszurechnen. Es ist
> wirklich nicht schwer:
>
> [mm]\det(X-A_3)=\vmat{ X & 0 & a_0 \\ -1 & X & a_1 \\ 0 & -1 & X+a_2 }=X\vmat{X & a_1 \\ -1 & X+a_2}+0+(-1)^2 a_0 \vmat{-1 & X \\ 0 &-1}=\ldots[/mm]
>
Das habe ich doch schon gemacht, dadurch bin ich doch erst auf meine fomel oben gekommen, mein problem ist einfach nur dass im induktionschritt von n nach n+1 vernünftig hinzureiben, weiß nicht so recht wie ich's machen soll!!
Hoffe du kannst mir helfen..
viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 19.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
hallo nochmal,
> das sieht ja gut aus. Jetzt mußt Du nur die Determinante
> nach der ersten Spalte entwickeln und die
> Induktionsvoraussetzung benutzen, d.h. benutze
>
> [mm]X(X^{n-1}+a_{n-1}X^{n-2}+\ldots+a_1)+a_0\cdot1 =X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0[/mm]
>
> und fertig.
Sorry habe das irgendwie noch nicht ganz verstanden wie ich den induktionsschritt von n nach n+1 zu machen haben.:-(
Muss doch dazu die Determinante der zugehörigen n+1x(n+1)-Matrix berechnen, aber wie benutze ich dann da die Induktionsvorraussetzung??
Oder muss ich das ganz anders anstellen??
Hoffe sehr, dass sich jemand meldet!!
Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Do 18.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
Du mußt einfach nur mal für n=3 meine Rechnung scharf anschauen. Taucht auf der rechten Seite vielleicht irgendeine Matrix auf, die aussieht wie im Fall n=2? Ansonsten hatte ich den Induktionsschritt für [mm] n-1\rightarrow [/mm] n schon mal fast hingeschrieben. Wie gesagt, Du mußt einfach mal draufschauen. Viel Glück,
Volker
|
|
|
| |
|
Moin
ich versuch mal den Induktionsschritt von [mm] n-1\rightarrow [/mm] n
Sei also [mm] n\in\mathbb{N} [/mm] und [mm] (\lambda E_{n-1}-A_{n-1})=\pmat{\lambda & 0 & 0 & \ldots & & a_0 \\ -1 & \lambda & 0 & & & a_1 \\ 0 & -1 & \lambda & & & a_2 \\ \vdots & & -1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & \vdots & & \ddots & 0 & \lambda+a_{n-2}} [/mm]
und sei [mm] det(\lambda E_{n-1}-A_{n-1})=\lambda^{n-1}+a_{n-2}\lambda^{n-2}+a_{n-3}\lambda^{n-3}+...+a_1\lambda+a_0
[/mm]
(Induktionsvoraussetzung)
Dann ist [mm] det(\lambda E_n-A_n)= det\pmat{\lambda & 0 & 0 & \ldots & & a_0 \\ -1 & \lambda & 0 & & & a_1 \\ 0 & -1 & \lambda & & & a_2 \\ \vdots & & -1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & \vdots & & \ddots & 0 & a_{n-2}\\ 0&0&\vdots&\cdots&-1&\lambda+a_{n-1} } [/mm] =:B
Dies kann man nach Laplace nach der 1.Zeile entwickeln, wie Volker2 schon gesagt hat, also:
[mm] detB=\summe_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}detA'_{1j}
[/mm]
[mm] =(-1)^{1+1}\lambda det\pmat{\lambda & 0 & 0 & \ldots & & a_1 \\ -1 & \lambda & 0 & & & a_2 \\ 0 & -1 & \lambda & & & a_3 \\ \vdots & & -1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & \vdots & & \ddots & 0 & \lambda+a_{n-1}} +0+...+0+(-1)^{1+n}a_0det\pmat{-1 & \lambda & 0 & \ldots & & 0 \\ 0 & -1 & \lambda & 0& & 0 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda& & 0 \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ 0 & \vdots & & \ddots & 0 & -1} [/mm]
[mm] =\lambda(\lambda^{n-1}+a_{n-1}^{n-2}+a_{n-2}\lambda^{n-3}+...+a_2\lambda+a_1)+(-1)^{1+n}(-1)^{n-1}a_0
[/mm]
wegen Induktionsvoraussetzung gilt das erste, das zweite, weil es eine Dreiecksmatrix ist (det= Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen)
[mm] =\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+a_{n-2}\lambda^{n-2}+...+a_2\lambda^2+a_1\lambda+(-1)^{2n}a_0
[/mm]
[mm] =\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+a_{n-2}\lambda^{n-2}+...+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0
[/mm]
q.e.d.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
