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| Aufgabe | Lt. Skript ist die char. Funktion der Cauchyverteilung [mm]C_a \ (a>0)[/mm] (Dichte [mm]f_a(x)=\frac{a}{\pi(a^2+x^2)}[/mm]):
[mm]\varphi(t)=e^{-a|t|}[/mm] |
Hallo zusammen,
wieder einmal ein tolles Bsp. aus meinem Stoch-I Skript:
Obiges wird ohne Rechnung behauptet, also habe ich das mal versucht nachzurechnen, komme aber auf keinen grünen Zweig
Formel für eine ZV [mm]X[/mm] mit Dichte [mm]f(x)[/mm]: [mm]\varphi(t)=\int\limits_{\IR}{e^{itx}f(x) \ dx}[/mm]
Also dann:
[mm]\varphi(t)=\frac{a}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{e^{itx}\cdot{}\frac{1}{a^2+x^2} \ dx} \ = \ \frac{a}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\cos(tx)\cdot{}\frac{1}{a^2+x^2} \ dx}+\frac{a}{\pi}i\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\sin(tx)\cdot{}\frac{1}{a^2+x^2} \ dx}[/mm]
Dann müsste das hintere Integral verschwinden - ähnliche Argumentation wie in meiner anderen Frage zu char. Funktionen - siehe dort
https://www.vorhilfe.de/read?t=881090
Bleibt das vordere Kosinus-Integral, das sich ums Verrecken nicht bändigen lässt.
Ich habe es mit partieller Integration versucht, aber mit wenig Erfolg.
Ich komme dann auf sowas wie [mm]\sin(tx)\arctan\left(\frac{x}{a}\right)[/mm] (mit noch einem Vorfaktor), aber dieses Teil will nicht konvergieren ...
Auch der Versuch, das Integral aufzuspalten in [mm]2\cdot{}\int\limits_{0}^{\infty}[/mm] hat nix gebracht ...
Ich wäre dankbar für eine zündende Idee
Danke und Gruß
schachuzipus
Betra
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Hallo schachuzipus,
> Lt. Skript ist die char. Funktion der Cauchyverteilung [mm]C_a \ (a>0)[/mm]
> (Dichte [mm]f_a(x)=\frac{a}{\pi(a^2+x^2)}[/mm]):
>
> [mm]\varphi(t)=e^{-a|t|}[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> wieder einmal ein tolles Bsp. aus meinem Stoch-I Skript:
>
> Obiges wird ohne Rechnung behauptet, also habe ich das mal
> versucht nachzurechnen, komme aber auf keinen grünen
> Zweig
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> Formel für eine ZV [mm]X[/mm] mit Dichte [mm]f(x)[/mm]:
> [mm]\varphi(t)=\int\limits_{\IR}{e^{itx}f(x) \ dx}[/mm]
>
> Also dann:
>
> [mm]\varphi(t)=\frac{a}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{e^{itx}\cdot{}\frac{1}{a^2+x^2} \ dx} \ = \ \frac{a}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\cos(tx)\cdot{}\frac{1}{a^2+x^2} \ dx}+\frac{a}{\pi}i\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\sin(tx)\cdot{}\frac{1}{a^2+x^2} \ dx}[/mm]
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> Dann müsste das hintere Integral verschwinden - ähnliche
> Argumentation wie in meiner anderen Frage zu char.
> Funktionen - siehe dort
>
> https://www.vorhilfe.de/read?t=881090
>
> Bleibt das vordere Kosinus-Integral, das sich ums Verrecken
> nicht bändigen lässt.
>
> Ich habe es mit partieller Integration versucht, aber mit
> wenig Erfolg.
>
> Ich komme dann auf sowas wie
> [mm]\sin(tx)\arctan\left(\frac{x}{a}\right)[/mm] (mit noch einem
> Vorfaktor), aber dieses Teil will nicht konvergieren ...
>
> Auch der Versuch, das Integral aufzuspalten in
> [mm]2\cdot{}\int\limits_{0}^{\infty}[/mm] hat nix gebracht ...
>
>
> Ich wäre dankbar für eine zündende Idee
>
Mit den Mitteln der Funktionentheorie ist das ein leichtes,
dieses eingangs erwähnte Integral zu berechnen.
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> Danke und Gruß
>
> schachuzipus
>
> Betra
>
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
danke erstmal!
> Mit den Mitteln der Funktionentheorie ist das ein
> leichtes,
> dieses eingangs erwähnte Integral zu berechnen.
Ok, aber gibt es eine "elementare" Möglichkeit, das Integral zu berechnen?
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
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> Hallo Mathepower,
>
> danke erstmal!
>
> > Mit den Mitteln der Funktionentheorie ist das ein
> > leichtes,
> > dieses eingangs erwähnte Integral zu berechnen.
>
> Ok, aber gibt es eine "elementare" Möglichkeit, das
> Integral zu berechnen?
>
Mir ist keine "elementare" Möglichkeit bekannt,
dieses Integral zu berechnen.
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Gruss
MathePower
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Hallo MP,
ja, mit dem Residuensatz ist das echt ratz fatz erledigt.
Schade, dass es nicht mit den Mittel der reellen Aanlysis zu knacken sein scheint.
Funktionentheorie ist eigentlich nicht vorausgesetzt für die VL ...
Naja, danke jedenfalls für den gedanklichen Anstupser!
Liebe Grüße
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo MP,
>
> ja, mit dem Residuensatz ist das echt ratz fatz erledigt.
>
> Schade, dass es nicht mit den Mittel der reellen Aanlysis
> zu knacken sein scheint.
>
> Funktionentheorie ist eigentlich nicht vorausgesetzt für
> die VL ...
Hallo schachuzipus,
wir hatten hier bei uns ( Du weißt schon wo ) mal einen Dozenten, der im Analysis - Grundkurs (3 semestrig) nur das Riemannintegral gebracht hat. In seinen weiterführenden Vorlesungen hat er allerdings von seinen Hörern verlangt, dass sie mit dem Lebesgueintegral vertraut sind.
Zu Deiner Anfrage: möglicherweise hilft bei der Berechnung des Integrals die Theorie der Fouriertransformation.
Gruß FRED
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> Naja, danke jedenfalls für den gedanklichen Anstupser!
>
> Liebe Grüße
>
> schachuzipus
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Hallo,
diese Aufgabe lässt sich gut mit der inversen Fouriertransformation im [mm] \mathcal{L}_{1} [/mm] lösen. Es gilt folgender Satz:
Sei $f(x)$ eine stetige und beschränkte Dichte. Weiter sei die Fouriertransformierte [mm] $f^{ft}(t) \in \mathcal{L}_{1}$. [/mm] Dann gilt
$ [mm] f(x)=\int \exp(-itx)f^{ft}(t) \; [/mm] dt.$ für Lebesgue fast alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Also einfach die Behauptete Fouriertransformierte einsetzen und dann das obige Integral mittels eulerscher Formel zerlegen und dann mit partieller Integration ausrechnen. Dann sollte die Cauchy-Dichte rauskommen.
Viele Grüße
Blasco
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