charakteristik eines körpers < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Nennen sie ein Beispiel für einen unendlichen Körper mit Charakteristik 2. |
Ich bin verunsichert, ob es sich hierbei um eine Fangfrage handelt. Gibt es überhaupt unedliche Körper der Charakteristik 2? Ich dachte, dass unendliche Körper immer die Charakteristik 0 hätten (wie z.B. Q, R und C), da sie einen zu Q ringisomorphen Primkörper enthalten. Oder bringe ich da was total durcheinander? Kann man die Aufgabe also überhaupt lösen?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir da irgendjemand helfen könnte!
Liebe Grüße, Froilein Kokosnuss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mi 27.08.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
betrachte $K = [mm] \mathbb{F}_2(X) [/mm] = [mm] \left\{\frac{f}{g} : f, g \in \mathbb{F}_2[X], g \not= 0 \right\}$, [/mm] der körper der rationalen funktionen über [mm] $\mathbb{F}_2$, [/mm] dem zweielementigen körper.
grüße
andreas
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ach so, mal sehen ob ich das richtig verstanden habe. Die elemente sind also quotienten aus polynomen, deren koeffizienten 1 oder o sind, oder? Ich kenne leider das symbol mit F nicht bzw. diese Schreibweise. aber wieso hat dieser körper denn die charakteristik 2? tut mir leid, wenn ich auf dem schlauch steh..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mi 27.08.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> ach so, mal sehen ob ich das richtig verstanden habe. Die
> elemente sind also quotienten aus polynomen, deren
> koeffizienten 1 oder o sind, oder? Ich kenne leider das
> symbol mit F nicht bzw. diese Schreibweise.
es ist einfach [mm] $\mathbb{F}_2 [/mm] = [mm] {}^{\displaystyle{\mathbb{Z}}}/_{\displaystyle{2\mathbb{Z}}}$ [/mm] eine abkürzende schreibweise für den körper mit 2 elementen.
vorhin habe ich übrigens bezüglich der bezeichnungen unsinn geschrieben, [mm] $\mathbb{F}_2(X)$ [/mm] heißt natürlich nicht "der körper der formalen potenzreihen" (hier kommen ja gar keine potenzreihen vor), sondern "der quotientenkörper des polynomrings", also gerade die rationalen funktionen. deine vorstellung ist schon ganz richtig. durch dieses quotienten bilden werden gerade die funktionen inverteirbar gemacht, die davor nicht invertierbar waren. man muss natürlich noch zur definition der gleichheit (wie bei der konstruktion der rationalen zahlen als brüche von ganzen zahlen) beachten, dass gilt [mm] $\frac{f_1}{g_1} [/mm] = [mm] \frac{f_2}{g_2} \; \Longleftrightarrow \; f_1g_2 [/mm] = [mm] f_2g_1$. [/mm] überlege dir mal, was das neutrale element bezüglich addition und multiplikation ist? was ist das multiplikativ inverse von $X + 1$?
> aber wieso hat
> dieser körper denn die charakteristik 2? tut mir leid, wenn
> ich auf dem schlauch steh..
kein problem. wenn du oben das multiplikativ neutrale element, also die $1$, gefunden hast, kannst du dir ja überlegen, was $1 + 1$, $1 + 1 + 1$ und so weiter ist... erhälst du irgendwann $0$?
grüße
andreas
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vielen dank, ich glaub ich habs jetzt. die 1 ist also auch das einselement des quotientenkörpers und Z/2Z ist Unterkörper von diesem. ähh, wieso war denn aber Z/2Z nochmal ein Körper? da gibts doch kein inverses zu 1 (also additiv), oder?
aber der quotientenkörper hat die charaktersitik 2 weil einselement + einselement 2 ergibt, es aber kein konstantes polynom 2 gibt. dieses ist dann gleich dem konstanten polynom 0 oder? hab ich das richtig verstanden?
vielen vielen dank nochmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Mi 03.09.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> vielen dank, ich glaub ich habs jetzt. die 1 ist also auch
> das einselement des quotientenkörpers und Z/2Z ist
> Unterkörper von diesem. ähh, wieso war denn aber Z/2Z
> nochmal ein Körper? da gibts doch kein inverses zu 1 (also
> additiv), oder?
was ist denn $1 + 1$? das verwendest du unten doch auch. ihr habt doch bestimmt allgemein bewiesen, dass $R/I$, wobei $R$ eine ring und $I$ ein ideal darin ist, wieder ein ring ist, oder? dann muss es doch auch stets additiv inverse geben.
> aber der quotientenkörper hat die charaktersitik 2 weil
> einselement + einselement 2 ergibt, es aber kein konstantes
> polynom 2 gibt. dieses ist dann gleich dem konstanten
> polynom 0 oder? hab ich das richtig verstanden?
ja, im prinzip vererbst sich die chrakteristik von dem definierenden grundring.
grüße
andreas
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