charakteristische Fkt von ZVen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:10 Di 01.07.2008 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die charakteristischen Funktionen folgender Zufallsvariablen:
i) [mm] X:\Omega \to \IR, [/mm] eine Bernoulli-verteilte ZV mit Parameter p [mm] \in [/mm] [0,1]
ii) [mm] Y:\Omega \to \IR, [/mm] eine Poisson-verteilte ZV mit Parameter [mm] \theta [/mm] > 0,
d.h. [mm] P_Y [/mm] ({k})= [mm] \bruch{\theta^k}{k!}*e^{-k}, [/mm] für alle k [mm] \in \IN_0
[/mm]
iii) [mm] Z:\Omega \to \IR [/mm] gleichverteilt auf (-a,a) |
Hallo!
Ich habe mir zwar bei wiki den Artikel zu charakteristische Funktionen durchgelesen, aber leider finde ich trotzdem keinen Anfang.
Hat jemand einen Tip für mich?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Di 01.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berechnen Sie die charakteristischen Funktionen folgender
> Zufallsvariablen:
> i) [mm]X:\Omega \to \IR,[/mm] eine Bernoulli-verteilte ZV mit
> Parameter p [mm]\in[/mm] [0,1]
> ii) [mm]Y:\Omega \to \IR,[/mm] eine Poisson-verteilte ZV mit
> Parameter [mm]\theta[/mm] > 0,
> d.h. [mm]P_Y[/mm] ({k})= [mm]\bruch{\theta^k}{k!}*e^{-k},[/mm] für alle k
> [mm]\in \IN_0[/mm]
> iii) [mm]Z:\Omega \to \IR[/mm] gleichverteilt auf (-a,a)
> Hallo!
> Ich habe mir zwar bei wiki den Artikel zu
> charakteristische Funktionen durchgelesen, aber leider
> finde ich trotzdem keinen Anfang.
> Hat jemand einen Tip für mich?
Na, wie ist die charakteristische Funktion denn definiert? Ohne die Definition kommst schonmal nicht weiter.
Dann: was tritt in der Definition auf? Wie berechnet man das normalerweise? Was brauchst du dazu ueber die Zufallsvariable zu wissen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Nette20 |
Hi felixf.
zu i)
[mm] \phi_X(u)=Ee^{iuX}=e^{iu0}(1-p)+e^{iu1}p=pe^{iu}+1-p
[/mm]
zu ii)
[mm] \phi_Y(u)=\summe_{k=0}^{+\infty}e^{iku} [/mm] * [mm] \bruch{\theta^k}{k!} [/mm] * [mm] e^{-k} [/mm] = ... = [mm] e^{\theta(e^{iu}-1)}
[/mm]
zu iii)
[mm] \phi_Z(u)=\bruch{1}{2a} \integral_{-a}^{a}{e^{iuZ}dz}=\bruch{e^{iua}-e^{-iua}}{2aiu}=\bruch{sin(au)}{au}
[/mm]
i) und ii) sind mir eigentlich klar.
Bei iii) habe ich aber noch Unklarheiten.
Ich muss ja die Gleichverteilung nutzen um [mm] \phi_Z(u) [/mm] entsprechend zu berechnen. [mm] \bruch{1}{2a} [/mm] ist die Gleichverteilung auf dem Intervall (-a,a)? Wieso? Sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht?
Und wie komme ich auf [mm] \bruch{e^{iua}-e^{-iua}}{2aiu}=\bruch{sin(au)}{au}?
[/mm]
LG
Janett
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mi 02.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Janett
> zu i)
> [mm]\phi_X(u)=Ee^{iuX}=e^{iu0}(1-p)+e^{iu1}p=pe^{iu}+1-p[/mm]
>
> zu ii)
> [mm]\phi_Y(u)=\summe_{k=0}^{+\infty}e^{iku}[/mm] *
> [mm]\bruch{\theta^k}{k!}[/mm] * [mm]e^{-k}[/mm] = ... = [mm]e^{\theta(e^{iu}-1)}[/mm]
>
> zu iii)
> [mm]\phi_Z(u)=\bruch{1}{2a} \integral_{-a}^{a}{e^{iuZ}dz}=\bruch{e^{iua}-e^{-iua}}{2aiu}=\bruch{sin(au)}{au}[/mm]
>
> i) und ii) sind mir eigentlich klar.
Gut.
> Bei iii) habe ich aber noch Unklarheiten.
Ok.
> Ich muss ja die Gleichverteilung nutzen um [mm]\phi_Z(u)[/mm]
> entsprechend zu berechnen. [mm]\bruch{1}{2a}[/mm] ist die
> Gleichverteilung auf dem Intervall (-a,a)? Wieso? Sehe ich
Die Dichte ist [mm] $\frac{1}{2 a}$ [/mm] auf dem Intervall $(-a, a)$ und $0$ sonst.
Deswegen brauchst du auch nur ueber $-a$ bis $a$ zu integrieren, da ueberall anders der Integrand 0 ist.
> den Wald vor lauter Bäumen nicht?
> Und wie komme ich auf
> [mm]\bruch{e^{iua}-e^{-iua}}{2aiu}=\bruch{sin(au)}{au}?[/mm]
Das liegt daran, dass [mm] $\frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2 i} [/mm] = [mm] \sin [/mm] x$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Nette20 |
AHHHHHH!
Nun ist der Groschen gefallen!
Vielen Dank!
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