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| Aufgabe | Seien [mm] X=(X_1,...,X_n) [/mm] ein Zufallsvektor mit Werten in [mm] \IR^n [/mm] und [mm] S=\summe_{j=1}^{n}X_j. [/mm] Zeigen Sie, dass für die charakteristischen Funktionen gilt:
[mm] \phi_X(t,0,...,0)=\phi_{X_1}(t) [/mm] und [mm] \phi_X(t,...,t)=\phi_S(t) [/mm] |
Also ich habe versucht die erste Gleichung zu lösen.
Und zwar habe ich folgendes berechnet:
[mm] \phi_X(t,0,...,0)=\integral_{\IR^n}^{}{e^{i*(t,0,...,0)*(x_1,...,x_n)^tr}F_X( d\overrightarrow{x})}
[/mm]
[mm] =\integral_{\IR^n}^{}{e^{i*t*x_1} F_X(d\overrightarrow{x})}
[/mm]
warum ist das dasselbe wie:
[mm] \phi_{X_1}(t)=\integral_{\IR}^{}{e^{itx_1} F_{X_1}(dx_1)}
[/mm]
kann mir jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank und liebe Grüße
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Huhu,
du brauchst keine Integrale, sondern einfach nur die Erwartungswertdefinition, machs mal darüber 
edit: Aber um deine Frage zu beantworten.
$ [mm] =\integral_{\IR^n}^{}{e^{i\cdot{}t\cdot{}x_1} F_X(d\overrightarrow{x})} [/mm] = [mm] \integral_{\IR}\integral_{\IR}...\integral_{\IR}e^{i\cdot{}t\cdot{}x_1}F_{X_1}d(x_1)F_{X_2}d(x_2)...F_{X_n}d(x_n) [/mm] = [mm] \integral_{\IR}e^{i\cdot{}t\cdot{}x_1}F_{X_1}d(x_1)\integral_{\IR}...\integral_{\IR}1F_{X_2}d(x_2)....F_{X_n}d(x_n) [/mm] = [mm] \phi_{X_1}(t)*1$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Tatsächlich! so einfach ist das, es steht ja sofort da. Aber irgendwie verstehe ich das nicht, denn die Integrale müssten doch ebenso einfach auf einen Nenner gebracht werden können, oder nicht?
Danke schonmal Gonzal!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Do 17.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hab den Rest der Vollständigkeit halber in meine Antwort schon reineditiert 
edit: Und wo hast du die komische Schreibweise mit dem [mm] $F_Xd(\vec{x})$ [/mm] her?
MFG,
Gono.
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Oh ja natürlich so einfach ist das
Das maß über [mm] \IR [/mm] ist ja 1.
Nun ja, das mit der Schreibweise(also den Vektorpfeil) habe ich so gemacht, weil man normalerweis für vektorwertige Funktionen einfach [mm] F_X(dx) [/mm] schreibt(siehe z.B. sirjaev), wobei implizit x als Vektor gemeint ist.
Ich wollte dies einfach betonen.
Grüße
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