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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Ferrice |
| Aufgabe | Gegeben ist eine n x n Matrix A und ein Skalar λ
A · [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = λ· [mm] \overrightarrow{x}
[/mm]
FRAGEN:
Handelt es sich bei dem gegebenen Gleichungssystem um ein homogenes
oder ein inhomogenes System? Wie lautet die notwendige und
hinreichende Bedingung, damit dieses Gleichungssystem nicht-triviale
Lösungen besitzt? (ANMERKUNG: Man nennt diese Gleichung
die charakteristische Gleichung).
Ist diese Gleichung eine Polynomgleichung? Wenn ja, von welchem
Grade? Wie lautet die Gleichungsvariable? (ANMERKUNG: Man
nennt λ die sog. Eigenwerte der Matrix A; zu jedem Eigenwert gibt
es unendlich viele Eigenvektoren [mm] \overrightarrow{x} [/mm] ) |
Könnte mir jemand bei dem Beipspiel Helfen und erklären was da genau gemeint ist..?
Ob es homogen ist oder nicht, kommt meiner meinung nach auf den Operator λ an. Wenn dieser 0 ist, dann ist es homogen, sonst inhomogen.
Die Bedingung für eine nicht triviale Lösung ist, dass die Matrix A nicht die Nullmatrix sein darf, bzw. [mm] \overrightarrow{x} [/mm] nicht der Nullvektor...
Stimmt das so ungefähr?
Ob es eine Polynomgleichung ist, da hab ich keine Ahnung, weiß das von euch jemand?
schöne Grüße
und Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
$A*x = [mm] \lambda*x$
[/mm]
ist eigentlich schon ein homogenes LGS wegen
$A*x = [mm] \lambda*x$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] A*x - [mm] \lambda*x [/mm] = o$
[mm] $\gdw [/mm] (A - [mm] \lambda*E)*x [/mm] = o$
Nun sieh dir dieses LGS genau an. Nichttriviale Lösungen heißt ja praktisch dass nicht nur die Lösung x = (0,0,0,0,0) für x infrage kommt, d.h. das LGS muss unendlich viele Lösungen haben. Was muss also für die Koeffizientenmatrix
$A - [mm] \lambda*E$
[/mm]
gelten?
Sie darf nicht vollen Rang haben! D.h. die Zeilen bzw. Spalten müssen linear abhängig sein. So kommt man letztendlich auf: [mm] \det(A [/mm] - [mm] \lambda*E) [/mm] = 0.
Um die Frage mit der Polynomgleichung zu beantworten, musst du sagen, wie ihr das definiert habt.
Stefan.
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