charakteristische Gleichung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für t [mm] \in \IR, t\not=2, [/mm] ist die abbildung [mm] \alpha [/mm] t durch
[mm] \alpha t:\vec{x} '=\bruch{1}{2-t} \pmat{ -2t+2 & 1 \\ -4t & 4 }\vec{x} [/mm] definiert.
a)Untersuche, für welche werte von t es sich um eine Euler-Affinität handelt.
b)Zeige: alle abbildungen [mm] \alpha [/mm] t haben eine gemeinsame Fixgerade. |
Hallo zusammen
Ich habe gerade versucht diese Aufgabe zu lösen. Ich habe bei Aufgabeteil
a) [mm] \lambda [/mm] = -2 und [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{-2}{2-t} [/mm] rausbekommen. stimmt das ergebnis?
b) nun, hier stecke ich wirklich fest. ich kriege bei Berechnung der Eigenvektoren den Nullvektr. ich berechne die eigenvektoren, weil die Matrix durch den ursprung verläuft und die Eigenvektoren die richtungsvektoren der Fixgerade vorgeben. ich habe bis heute es nicht verlangt, dass mir es einer vorrechnet (könnt ihr auch sehen in meinen vorherigen Fragen), aber diese mal bitte ich euch wirklich mir mit einer ausführlichen Rechnung zu helfen.
Ich kann ja mal meine Rechnung für einen Eigenwert mitposten, damit ihr es seht, dass ich nicht einfach meine Hausaufgaben gemacht haben will, sondern die gemacht habe, aber nicht das ergebnis kriege.
für [mm] \lambda [/mm] = -2:
[mm] \pmat{ \bruch{-4t+6}{2-t} & \bruch{1}{2-t} \\ \bruch{-4t}{2-t} & \bruch{8-2t}{2-t} }vec{x}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (-4t+6)x1+x2=0 [mm] \wedge [/mm] -4tx1+(8-2t)x2=0
So und ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Ich muss ja x1 oder x2 eliminieren. nachdem ich, x2 eliminiert habe, kriege ich
(-4t+6)x1+x2=0 [mm] \wedge (-8t^{2}+42t-48)x1 [/mm] + 0 x2=0. daraus folgt ja x1 und x2=0 ...das kann ja aber nicht sein für die eigenvektoren. Was rechne ich falsch????
BITTE, FLEHE um schnelle hilfe bevor ich hier eingehe!
|
|
| |
|
Hallo Powerranger,
> Für t [mm]\in \IR, t\not=2,[/mm] ist die abbildung [mm]\alpha[/mm] t durch
> [mm]\alpha t:\vec{x} '=\bruch{1}{2-t} \pmat{ -2t+2 & 1 \\ -4t & 4 }\vec{x}[/mm]
> definiert.
> a)Untersuche, für welche werte von t es sich um eine
> Euler-Affinität handelt.
> b)Zeige: alle abbildungen [mm]\alpha[/mm] t haben eine gemeinsame
> Fixgerade.
> Hallo zusammen
>
> Ich habe gerade versucht diese Aufgabe zu lösen. Ich habe
> bei Aufgabeteil
> a) [mm]\lambda[/mm] = -2 und [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{-2}{2-t}[/mm] rausbekommen.
> stimmt das ergebnis?
Die Eigenwerte der obigen Matrix stimmen, wenn diese aus der Gleichung
[mm]\operatorname{det}\left(\bruch{1}{2-t} \pmat{ -2t+2 & 1 \\ -4t & 4 }\blue{+}\pmat{\lambda & 0 \\ 0 & \lambda}\right)=0[/mm]
bestimmt wurden.
Gefragt ist, für welche t es sich um eine Euler-Affinität handelt.
>
> b) nun, hier stecke ich wirklich fest. ich kriege bei
> Berechnung der Eigenvektoren den Nullvektr. ich berechne
> die eigenvektoren, weil die Matrix durch den ursprung
> verläuft und die Eigenvektoren die richtungsvektoren der
> Fixgerade vorgeben. ich habe bis heute es nicht verlangt,
> dass mir es einer vorrechnet (könnt ihr auch sehen in
> meinen vorherigen Fragen), aber diese mal bitte ich euch
> wirklich mir mit einer ausführlichen Rechnung zu helfen.
> Ich kann ja mal meine Rechnung für einen Eigenwert
> mitposten, damit ihr es seht, dass ich nicht einfach meine
> Hausaufgaben gemacht haben will, sondern die gemacht habe,
> aber nicht das ergebnis kriege.
>
> für [mm]\lambda[/mm] = -2:
>
> [mm]\pmat{ \bruch{-4t+6}{2-t} & \bruch{1}{2-t} \\ \bruch{-4t}{2-t} & \bruch{8-2t}{2-t} }vec{x}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (-4t+6)x1+x2=0 [mm]\wedge[/mm] -4tx1+(8-2t)x2=0
Nun, die Eigenwerte hast Du so berechnet:
[mm]\operatorname{det}\left(\bruch{1}{2-t} \pmat{ -2t+2 & 1 \\ -4t & 4 }\blue{+}\pmat{\lambda & 0 \\ 0 & \lambda}\right)=0[/mm]
Die obige Matrix wurde aber so gebildet:
[mm]\bruch{1}{2-t} \pmat{ -2t+2 & 1 \\ -4t & 4 }\blue{-}\pmat{\lambda & 0 \\ 0 & \lambda}[/mm]
>
> So und ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Ich muss ja x1
> oder x2 eliminieren. nachdem ich, x2 eliminiert habe,
> kriege ich
> (-4t+6)x1+x2=0 [mm]\wedge (-8t^{2}+42t-48)x1[/mm] + 0 x2=0. daraus
> folgt ja x1 und x2=0 ...das kann ja aber nicht sein für
> die eigenvektoren. Was rechne ich falsch????
> BITTE, FLEHE um schnelle hilfe bevor ich hier eingehe!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower,
Also, wenn ich ehrlich bin, verstehe ich nicht so recht, was du damit meinst...
Ich habe [mm] A-\pmat{\lambda & 0 \\ 0 & \lambda } [/mm] gerechnet, aber weil [mm] \lambda=-2 [/mm] ist, ergibt sich ja aus - und -, +. deswegen habe ich +2 gerechnet (natürlich erst erweitert auf den Hauptnenner 2-t). Die BEdingung habe ich ja auch: für t ungleich 2 und 1 ist es eine eler-affinität. ich wollte bei a eigentlich nur wissen, ob meine eigenwerte richtig sind, da mein lehrer für die Eigenwerte 2 und 2/2-t hatte und ich genau das negative. aber weil ich dachte, dass er beim schnellen rechnen an der tafel ein fehler gemacht haben könnte, wollte ich mich jetzt vergewissern, welches ergebnis stimmt. welches ist es denn nun nach deiner meinung?
mein größtes problem habe ich ja bei aufgabenteil b, weil ich da gar nicht klar komme, bei a wäre es ja evtl ein kleiner rechenfehler, womit ich in der klausur auch leben könnte :)
|
|
|
| |
|
Hallo Powerranger,
> Hallo MathePower,
>
> Also, wenn ich ehrlich bin, verstehe ich nicht so recht,
> was du damit meinst...
> Ich habe [mm]A-\pmat{\lambda & 0 \\ 0 & \lambda }[/mm] gerechnet,
> aber weil [mm]\lambda=-2[/mm] ist, ergibt sich ja aus - und -, +.
> deswegen habe ich +2 gerechnet (natürlich erst erweitert
> auf den Hauptnenner 2-t). Die BEdingung habe ich ja auch:
> für t ungleich 2 und 1 ist es eine eler-affinität. ich
> wollte bei a eigentlich nur wissen, ob meine eigenwerte
> richtig sind, da mein lehrer für die Eigenwerte 2 und
> 2/2-t hatte und ich genau das negative. aber weil ich
> dachte, dass er beim schnellen rechnen an der tafel ein
> fehler gemacht haben könnte, wollte ich mich jetzt
> vergewissern, welches ergebnis stimmt. welches ist es denn
> nun nach deiner meinung?
>
Die Eigenwerte, die Dein Lehrer herausbekommen hat, sind die richtigen.
>
> mein größtes problem habe ich ja bei aufgabenteil b, weil
> ich da gar nicht klar komme, bei a wäre es ja evtl ein
> kleiner rechenfehler, womit ich in der klausur auch leben
> könnte :)
Wenn Du das Gleichungsystem
[mm]\left(A-\pmat{\lambda & 0 \\ 0 & \lambda }\right)*\vec{x}=\vec{0}[/mm]
aufstellst, dann ergeben sich mit den richtigen Eigenwerten zwei
Zeilen/Spalten die linear abhgängig voneinander sind.
Insofern benötigst Du nur eine Gleichung, um die Eigenvektoren anzugeben.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok, danke dir...ich rechne es bei gelegenheit nochmal aus
Liebe Grüße
Powerranger
|
|
|
|
