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charakteristisches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Mo 07.05.2018
Autor: Max34

Aufgabe
Hallo,
ich habe ein nilpotente Matrix mit [mm] A^n=0 [/mm] für ein gewisses n.
Nun ist das charakteristische Polynom [mm] \chi_{A+E_n} [/mm] zu berechnen. Dabei soll [mm] A+E_n [/mm] im Index sein.
Ich weis nicht mal ob ich richtig dann einsetze:
[mm] det(xE_n-(A+E_n)) [/mm] = [mm] det(xE_n-A-E_n)=det( E_n(x-1)-A) [/mm]

Aber dann komme ich nicht weiter. Gibt es da einen Trick?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
charakteristisches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Di 08.05.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  ich habe ein nilpotente Matrix mit [mm]A^n=0[/mm] für ein gewisses
> n.
>  Nun ist das charakteristische Polynom [mm]\chi_{A+E_n}[/mm] zu
> berechnen. Dabei soll [mm]A+E_n[/mm] im Index sein.
>  Ich weis nicht mal ob ich richtig dann einsetze:
>  [mm]det(xE_n-(A+E_n))[/mm] = [mm]det(xE_n-A-E_n)=det( E_n(x-1)-A)[/mm]

Bis hier ist  alles o.k.


>  Aber
> dann komme ich nicht weiter. Gibt es da einen Trick?

Nein,  kein Trick,  nur  Voraussetzungen konsequent nutzen!

Ich greife obiges auf und setze t=x-1. Dann erhalten  wir

det [mm] (tE_n-A), [/mm]  also das Charakter.  Polynom von A an der Stelle t.

Dieses  Polynom ist aber [mm] =t^n. [/mm]

kommst du damit weiter?

>  Über Hilfe würde ich mich sehr freuen:)
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
charakteristisches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:49 Di 08.05.2018
Autor: Max34

Danke für deine Antwort:)
Muss dann nicht  [mm] t^n [/mm]  =0 . Dann ist doch t=0. Dann folgt aber weil t:=x-1 $ [mm] \rightarrow [/mm] x=1. Dann komme ich aber auf det(-A). Irgendwas ist da doch trotzdem falsch?

Bezug
                        
Bezug
charakteristisches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:00 Di 08.05.2018
Autor: angela.h.b.


> Danke für deine Antwort:)
> Muss dann nicht [mm]t^n[/mm] =0 .

Moin,

würdest Du Eigenwerte suchen, müßte das...
Du suchst aber nicht Eigenwerte, sondern ein Polynom, also "ein Ding, wo x drin vorkommt".

Du hast
[mm] \chi_{A+E_n}=det(\red{(x-1)}E_n-A), [/mm]

Du weißt aufgrund der Voraussetzung [mm] A^n=0, [/mm] daß [mm] det(\red{t}E_n-A)=\red{t}^n. [/mm]

Also ist [mm] det(\red{(x-1)}E_n-A)= [/mm] ???

LG Angela






> Dann ist doch t=0. Dann folgt
> aber weil t:=x-1 $ [mm]\rightarrow[/mm] x=1. Dann komme ich aber auf
> det(-A). Irgendwas ist da doch trotzdem falsch?


Bezug
                                
Bezug
charakteristisches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:08 Di 08.05.2018
Autor: Max34

D.h dann einfach das Ergebnis ist [mm] (x-1)^n [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
charakteristisches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:29 Di 08.05.2018
Autor: angela.h.b.


> D.h dann einfach das Ergebnis ist [mm](x-1)^n[/mm]

Ja.

LG Angela

Bezug
                                                
Bezug
charakteristisches Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:33 Di 08.05.2018
Autor: Max34

Dankeschön :)
Vielen Dank:)

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