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Forum "Uni-Lineare Algebra" - charakteristisches Polynom
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charakteristisches Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Mi 27.09.2006
Autor: hooover

Aufgabe
Bestimme das charakteristisches Polynom einer Matrix der Form

[mm] A=\pmat{ 0 & . & . & . & . & -a_{n} \\ 1 & 0 & . & . & . & -a_{n}-1 \\ & . & . & & & . \\ & & .& . & & . \\ & & & . & 0 & -a_{2} \\ & & & & 1 & -a_{1} } [/mm]

Was fällt dir auf?

Hallo alle zusammen,

ich weiß nicht genau wie man das machen sollte.

Konkret kann ich das bestimmen aber so allgemein:(

[mm] P_{A}(\lambda)=det(A-\lambda*I)=(-\lambda)...(-a_{1}-\lambda) [/mm]

diese Frage aber Was fällt Dir auf ist schon merkwürdig, würde ja vermuten das [mm] P_{A}(\lambda)=0 [/mm]

kann ich aber nicht genau sagen wüßte auch nicht wie ich das zeigen soll.

wäre nett wenn mir da jemand etwas helfen könnte

Vilen Dank Gruß hooover

        
Bezug
charakteristisches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Mi 27.09.2006
Autor: felixf

Hallo hooover!

> Bestimme das charakteristisches Polynom einer Matrix der
> Form
>  
> [mm]A=\pmat{ 0 & . & . & . & . & -a_{n} \\ 1 & 0 & . & . & . & -a_{n}-1 \\ & . & . & & & . \\ & & .& . & & . \\ & & & . & 0 & -a_{2} \\ & & & & 1 & -a_{1} }[/mm]
>  
> Was fällt dir auf?
>  Hallo alle zusammen,
>  
> ich weiß nicht genau wie man das machen sollte.

Per Induktion ;-) Versuch es doch erstmal fuer $n = 2, 3, 4$ konkret auszurechnen und stelle eine Vermutung auf. Dann versuche, sie per Induktion zu beweisen. Dazu kannst du dann etwa eine Laplace-Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte machen.

> Konkret kann ich das bestimmen aber so allgemein:(
>  
> [mm]P_{A}(\lambda)=det(A-\lambda*I)=(-\lambda)...(-a_{1}-\lambda)[/mm]

Was genau meinst du damit?

> diese Frage aber Was fällt Dir auf ist schon merkwürdig,
> würde ja vermuten das [mm]P_{A}(\lambda)=0[/mm]

Du meinst, dass das charakteristische Polynom das Nullpolynom ist? Sicher nicht, da es Grad $n$ hat.

LG Felix


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