charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Do 10.04.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | | Es sei V ein endlich dimensionaler [mm] \IC- [/mm] Vektorraum und [mm] f:V\to [/mm] V linear. Wir nehmen an, dass das charkteristische Polynom [mm] P_f(\lambda) [/mm] von f reelle Koeffizienten hat. Zeigen Sie: Ist [mm] \mu=a+ib\in\IC [/mm] ein Eigenwert von f, dann ist auch das komplexe konjugierte [mm] \overline{\mu}=a-ib [/mm] ein Eigenwert von f. |
Hatte leider noch keie Zeit, mich mit der Aufgabe zu befassen, habe sie aber in der Hoffnung auf Anregungen schon mal online gestellt und werde mich in den nächsten tagen damit beschäfftigen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 10.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Es sei V ein endlich dimensionaler [mm]\IC-[/mm] Vektorraum und
> [mm]f:V\to[/mm] V linear. Wir nehmen an, dass das charkteristische
> Polynom [mm]P_f(\lambda)[/mm] von f reelle Koeffizienten hat. Zeigen
> Sie: Ist [mm]\mu=a+ib\in\IC[/mm] ein Eigenwert von f, dann ist auch
> das komplexe konjugierte [mm]\overline{\mu}=a-ib[/mm] ein Eigenwert
> von f.
Für beliebige Polynome [mm] $p\in\IC[z]$ [/mm] mit reellen Koeffizienten ist [mm] $p(\overline{z})=\overline{p(z)}$ [/mm] für alle [mm] $z\in\IC$.
[/mm]
> Hatte leider noch keie Zeit, mich mit der Aufgabe zu
> befassen, habe sie aber in der Hoffnung auf Anregungen
> schon mal online gestellt und werde mich in den nächsten
> tagen damit beschäfftigen...
^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mo 14.04.2008 | | Autor: | side |
es ist ja [mm] \mu [/mm] ein Eigenwert von f, also eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms, oder? was kann ich denn über [mm] P_f(\lambda) [/mm] sagen, wo ich doch fast nichts über f weis. Ich muss doch zeigen:
[mm] P_f(\mu)=0 \Rightarrow P_f(\bar \mu)=0 [/mm] oder? WIe bekomm ich das hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mo 14.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> es ist ja [mm]\mu[/mm] ein Eigenwert von f, also eine Nullstelle des
> charakteristischen Polynoms, oder? was kann ich denn über
> [mm]P_f(\lambda)[/mm] sagen, wo ich doch fast nichts über f weis.
> Ich muss doch zeigen:
> [mm]P_f(\mu)=0 \Rightarrow P_f(\bar \mu)=0[/mm] oder?
Ja.
> WIe bekomm ich das hin?
Lies dir deine urspruengliche Frage durch und pelzigs Antwort dazu.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 15.04.2008 | | Autor: | side |
Ich weis also jetzt, dass [mm] P_f(\mu)=0 [/mm]
Weiter kann ich sagen: [mm] \exists v\inV: Av=\mu{v}, [/mm] wenn A als Matrix zu f und damit zu [mm] P_f [/mm] gehört, oder?
Ich komm da echt nicht weiter, wäre super wenn jemand die Lösunfg hat, da ich das morgen abgeben muss...danke...vielleicht verstehe ich es ja, wenn ich die Lösung sehe.
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Hi,
das charakterisrische Polynom von $A$ kann man schreiben als
[mm] $P_{A}(z) [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] z + [mm] a_2 z^2 [/mm] + [mm] \cdots a_n z^n$ [/mm] mit [mm] $a_0,\cdots,a_n \in \IR [/mm] , z [mm] \in \IC$. [/mm]
Ist [mm] $\lambda \in \IC$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $P_A$, [/mm] so gilt:
$0 = [mm] P_{A}(\lambda) [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \lambda [/mm] + [mm] a_2 \lambda^2 [/mm] + [mm] \cdots a_n \lambda^n$.
[/mm]
Komplex konjugieren ergibt:
$0 = [mm] \overline{0} [/mm] = [mm] \overline{P_{A}(\lambda)} [/mm] = [mm] \overline{a_0 + a_1 \lambda + a_2 \lambda^2 + \cdots a_n \lambda^n} [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \overline{\lambda} [/mm] + [mm] a_2 \overline{\lambda^2} [/mm] + [mm] \cdots a_n \overline{\lambda^n}= P_{A}(\overline{\lambda}) \Rightarrow \overline{\lambda}$ [/mm] ist eine Nullstelle von [mm] $P_A$.
[/mm]
Gruss,
logarithmus
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