charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mi 16.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei V ein endl.dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Seien U und W Unterräume von V und sei [mm] V=U \oplus W[/mm]. Seien [mm] f_1: U \to U, f_2: W \to W [/mm] linear. Sei [mm] f \in End(V) [/mm] definiert durch [mm] f(v)=f_1(u) + f_2(w) [/mm] für alle [mm] v=u+w [/mm] in V mit [mm] u \in U, w \in W [/mm].
Beweisen Sie, dass [mm] x_f=x_f_1x_f_2 [/mm] ist. (x=charakteristisches Polynom) |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo, mein Ansatz - leider sehr wenig - ist Folgender:
Ich denke mal, dass die Eigenwerte von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] verschieden sind, da U und W komplementär sind.
Dadurch sind dann auch die Eigenvektoren von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] verschieden.
Stimmt das ?
Leider weiss ich nicht so richtig weiter.
Danke, Susanne.
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> Sei V ein endl.dimensionaler Vektorraum über einem Körper
> K. Seien U und W Unterräume von V und sei [mm]V=U \oplus W[/mm].
> Seien [mm]f_1: U \to U, f_2: W \to W[/mm] linear. Sei [mm]f \in End(V)[/mm]
> definiert durch [mm]f(v)=f_1(u) + f_2(w)[/mm] für alle [mm]v=u+w[/mm] in V
> mit [mm]u \in U, w \in W [/mm].
> Beweisen Sie, dass [mm]x_f=x_f_1x_f_2[/mm]
> ist. (x=charakteristisches Polynom)
> Ich denke mal, dass die Eigenwerte von [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm]
> verschieden sind, da U und W komplementär sind.
Hallo,
hierfür sehe ich keinen Grund.
Gegenbeispiel: [mm] \IR^2=<\vektor{1 \\ 0}>+<\vektor{0 \\ 1}>
[/mm]
[mm] f_1 [/mm] : Identitat auf [mm] <\vektor{1 \\ 0}>, f_2: [/mm] Identität auf [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Beide habe den Eigenwert 1, (allerdings in der Tat verschiedene Eigenvektoren).
Mal ein Tip: Die Basen von U und W ergeben zusammen eine von V.
Stell mal fest, welche Gestalt die darstellende Matrix von f bzgl. dieser Basis hat, und erinnere Dich dann an die Determinanten von Blockmatrizen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 16.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
danke für Deine Hilfe !
Ich denke, die darstellende Matrix von f ist eine Diagonalmatrix. Allerdings weiss ich nicht so richtig, warum.
Weil die Basisvektoren linear unabhängig sind ? Das muss doch nicht zwingend eine Diagonalmatrix ergeben ?
Bei einer Blockmatrix werden die char.Polynome multipliziert, genau was man beweisen muss, aber durch eine Addition von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] bekomme ich doch keine Blockmatrix ?
LG, Susanne.
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> Ich denke, die darstellende Matrix von f ist eine
> Diagonalmatrix.
Hallo,
nein, eine Diagonalmatrix ist das i.a. nicht, das, was Du sagst, hat aber trotzdem einen wahren Kern: es ist eine diagonale Blockmatrix (oder heißt das: Blockdiagonalmatrix?)
Wir machen jetzt noch ein Beispiel. Genauer gesagt sollst Du es machen.
Es sei V=U [mm] \oplus [/mm] W,
[mm] (u_1,u_2) [/mm] eine Basis von U und
[mm] (w_1, w_2,w_3) [/mm] eine Basis von W.
Jetzt betrachte zwei lineare Abbildungen,
[mm] f_U: [/mm] U [mm] \to [/mm] U mit
[mm] f(u_1) :=u_1+2u_2
[/mm]
[mm] f(u_2) :=3u_1+4u_2,
[/mm]
[mm] f_W: [/mm] W [mm] \to [/mm] W mit
[mm] f(w_1) :=5w_1+4w_2+3w_3
[/mm]
[mm] f(w_2) :=2w_2
[/mm]
[mm] f(w_3) :=5w_1+5w_2+5w_3
[/mm]
Mach nun folgendes:
Schreibe die Darstellungsmatizen von [mm] f_U [/mm] bzgl [mm] (u_1,u_2) [/mm] auf und die von [mm] f_W [/mm] bzgl. [mm] (w_1, w_2,w_3).
[/mm]
Nun betrachten wir den Endomorphismus f des "großen" Raumes V, mit
f(v):= [mm] f_U(u) [/mm] + [mm] f_W(w) [/mm] für alle v=u+w [mm] \in [/mm] V mit [mm] u\in [/mm] U, [mm] w\in [/mm] W.
Bedenke, daß [mm] (u_1,u_2,w_1, w_2,w_3) [/mm] eine Basis von V ist, und stell die Darstellungsmatrix bzgl dieser Abbildung auf. Der Weg zum charakteristischen Polynom ist dann nicht mehr weit.
Wenn Dir dieses Beispiel geglückt ist, wirst Du verstehen, warum die Aussage, die Du beweisen sollst, stimmt. (Ich mache das übrigens oft so, daß ich mir zu solchen Aufgaben erstmal ein Beipiel mache, um alles zu begreifen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 17.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
erstmal VIELEN VIELEN DANK für diese tolle Erklärung.
> Jetzt betrachte zwei lineare Abbildungen,
>
> [mm]f_U:[/mm] U [mm]\to[/mm] U mit
> [mm]f(u_1) :=u_1+2u_2[/mm]
> [mm]f(u_2) :=3u_1+4u_2,[/mm]
>
> [mm]f_W:[/mm] W [mm]\to[/mm] W mit
> [mm]f(w_1) :=5w_1+4w_2+3w_3[/mm]
> [mm]f(w_2) :=2w_2[/mm]
> [mm]f(w_3) :=5w_1+5w_2+5w_3[/mm]
>
> Mach nun folgendes:
>
> Schreibe die Darstellungsmatizen von [mm]f_U[/mm] bzgl [mm](u_1,u_2)[/mm] auf
> und die von [mm]f_W[/mm] bzgl. [mm](w_1, w_2,w_3).[/mm]
Darstellungsmatrix von [mm] f_U=\pmat{1&3\\2&4} [/mm]
Darstellungsmatrix von [mm] f_W=\pmat{5&0&5\\4&2&5\\3&0&5} [/mm]
> Nun betrachten wir den Endomorphismus f des "großen"
> Raumes V, mit
>
> f(v):= [mm]f_U(u)[/mm] + [mm]f_W(w)[/mm] für alle v=u+w [mm]\in[/mm] V mit [mm]u\in[/mm] U,
> [mm]w\in[/mm] W.
>
> Bedenke, daß [mm](u_1,u_2,w_1, w_2,w_3)[/mm] eine Basis von V ist,
> und stell die Darstellungsmatrix bzgl dieser Abbildung auf.
> Der Weg zum charakteristischen Polynom ist dann nicht mehr
> weit.
Achso, ist das jetzt die direkte Summe, also
[mm] \pmat{1&3&0&0&0\\2&4&0&0&0\\0&0&5&0&5\\0&0&4&2&5\\0&0&3&0&5}[/mm] ?
> Wenn Dir dieses Beispiel geglückt ist, wirst Du verstehen,
> warum die Aussage, die Du beweisen sollst, stimmt. (Ich
> mache das übrigens oft so, daß ich mir zu solchen Aufgaben
> erstmal ein Beipiel mache, um alles zu begreifen.)
Ja, super, wenn meine Bemerkungen stimmen, hab ich es jetzt verstanden - VIELEN DANK !
LG, Susanne.
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> Achso, ist das jetzt die direkte Summe, also
>
> [mm]\pmat{1&3&0&0&0\\2&4&0&0&0\\0&0&5&0&5\\0&0&4&2&5\\0&0&3&0&5}[/mm]
> ?
Hallo,
ja, genau.
Jetzt hast Du es verstanden, was mich freut.
Gruß v. Angela
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