charakteristisches Polynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie alle relativen Extrema von folgender Funktion
f(x,y,z) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} z^{2} [/mm] -xy + x + y + z |
Hey erstmal,
Ich habe ein Problem bei der oben genannten aufgabe, und zwar kann ich die Funktion nach allen Variablen partiell ableiten und das danach entstandene Gleichungssystem nach x, y und z auflösen.
Dann bilde ich die Hessematrix.
Nur leider verstehe ich nicht wie man das charakteristische Polynom bildet. Kann mir da einer weiterhelfen.
Für x, y und z kommt jeweils der Wert 1 raus. P (1,1,1)
Die Hessematrix lautet A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Also kann mir hier nun jemand weiterhelfen? Ich danke euch jetzt schonmal für eure Hilfe!
Freundliche Grüße
eldanielo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
also dein kritischer Punkt stimmt meiner Rechnung zufolge nicht - es müsste (-1,-1,-1) raus kommen.
Das heißt also, dass dieser Punkt ein Kanditat für ein lokales Extremum ist. Ob dies wirklich vorliegt überprüfst du mit der Hessematrix. Dafür muss du dir die Definitheit dieser Matrix im kritischen Punkt angucken (hier spielt das keine Rolle, da die Hesse-Matrix in allen Punkten gleich ist. I.A. hängt sie aber von x,y,z ab).
Zur Überprüfung gibt es einige Möglichkeiten, siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Definitheit_von_Matrizen
hier.
Was meintest du mit dem char. Polynom? Wolltest du die Eigenwerte ausrechnen und gucken ob diese alle positiv/negativ sind? Das geht grundsätzlich, ist wohl aber etwas zu kompliziert für diese Aufgabe 
Gruß Framl
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Hey,
ja du hast recht, es kommt (-1,-1,-1) raus, hab das nur falsch aus meinem Block übertragen.
Genau ich will das charakteristische Polynom bestimmen um die Eigenwerte zu ermitteln. Bei der Aufgabe handelt es sich um eine alte Klausuraufgabe, die mit Lösungen online steht. In den Lösungen ist angegeben, das man nun nach dem man die Hessematrix bestimmt hat, das charakteristische Polynom verwenden soll um die Eigenwerte zu ermitteln.
Den Schritt kann ich nicht nachvollziehen da ich nicht weiß wie man das charakteristische Polynom ermittelt kann mir da jemand behilflich sein?
Danke schonmal!
eldanielo
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Hey Framl,
ich danke dir für deine ausführlichen Antworten, die haben mir schon sehr geholfen. Nur hab ich leider Gottes Probleme dir komplettt zu folgen.
Wie bestimmt man denn zB die Determinante von einer 3x3 Matrix?
Könntest du vielleicht das Gleichungssystem mal posten, dass sich bei meiner Aufgabe ergibt um Lambda zu bestimmen?
Anhand eines Beispiels kann ich sowas immer besser nachvollziehen. dank dir!
freundliche grüße
eldanielo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Framl |
Zur Bestimmung der Determinante gibt es einige Möglichkeiten, z.B. LaPlace-Entwicklungssatz, Regel von Sarrus, Auf Zeilenstufenform bringen mit dem Gauss-Algorithmus.
Die Matrix sieht so aus
[mm] $A-\lambda E=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\lambda\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & 2-\lambda & 0 \\ 0&0&1-\lambda \end{pmatrix}$
[/mm]
Es bietet sich jetzt an die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, da nur ein Schritt nötig ist:
[mm] $\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & 2-\lambda & 0 \\ 0&0&1-\lambda \end{pmatrix}\rightsquigarrow \begin{pmatrix}2-\lambda & -1 & 0 \\ 0 & \frac{-1}{2-\lambda}+2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}\Longrightarrow$
[/mm]
[mm] $\det(A-\lambda E)=(2-\lambda)\cdot \left(\frac{-1}{2-\lambda}+2-\lambda\right)(1-\lambda)=...$ [/mm]
Gruß Framl
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Hey Framl,
ich danke dir! Jetzt hab ich endlich kapiert wie das funktioniert.
Hab nur noch ein Problem die 2 Zeile die du mit dem Gauss Algorithmus veränderst kann ich nicht ganz nachvollziehen.
Zudem: Die -1 in der ersten Zeile spielt keine Rolle`?
Vielen dank!
eldanielo
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo eldanielo,
> Hey Framl,
> ich danke dir! Jetzt hab ich endlich kapiert wie das
> funktioniert.
> Hab nur noch ein Problem die 2 Zeile die du mit dem Gauss
> Algorithmus veränderst kann ich nicht ganz nachvollziehen.
Framl hat das $\frac{1}{2-\lambda}$-fache der ersten Zeile auf die zweite Zeile draufaddiert ...
> Zudem: Die -1 in der ersten Zeile spielt keine Rolle'?
Die fällt bei der o.g. Umformung weg, bzw. hebt sich zu Null auf, denn $\frac{1}{2-\lambda}\cdot{}(2-\lambda})=1$ und $1+(-1)=0$
>
> Vielen dank!
> eldanielo
LG
schachuzipus
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Hey,
dank dir. Es wird mir leider immer noch nicht ganz schlüssig. Der Anfang ist ja leicht, nur ich verstehe die Umformung auf diese Stufenform nicht ganz. Kann mir schon denken dass das vor allem dafür nötig ist die Lambdas leichter zu ermitteln. Aber kann die Matrix die bei Framl rauskommt leider immer noch nicht ganz nachvollziehen. Befinde mich da irgendwie auf dem Holzweg.
Naja ich hoffe ihr habt nachsehen mit so einem mathematischen Nichtskönner.
ich danke,
eldanielo
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Hallo nochmal,
> Hey,
> dank dir. Es wird mir leider immer noch nicht ganz
> schlüssig. Der Anfang ist ja leicht, nur ich verstehe die
> Umformung auf diese Stufenform nicht ganz. Kann mir schon
> denken dass das vor allem dafür nötig ist die Lambdas
> leichter zu ermitteln. Aber kann die Matrix die bei Framl
> rauskommt leider immer noch nicht ganz nachvollziehen.
wieso nicht?
Nimm dir ein Blatt Papier, multipliziere die erste Zeile eintragweise mit [mm] $\frac{1}{2-\lambda}$
[/mm]
Diese "neue" erste Zeile addiere komponentenweise zur 2.Zeile
Also 1. "neuer" Eintrag der "neuen" 1. Zeile zum 1. Eintrag der 2.Zeile usw. mit den Einträgen 2 und 3
Schreib's dir auf, dann siehst du's
Die 3.Zeile bleibt ja unverändert, da die ersten beiden Einträge dort bereits =0 sind
> Befinde mich da irgendwie auf dem Holzweg.
> Naja ich hoffe ihr habt nachsehen mit so einem
> mathematischen Nichtskönner.
>
> ich danke,
> eldanielo
LG
schachuzipus
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Hey,
du hast natürlich recht wenn man die Gleichung so auflöst, wie du es mir erläutert hast, kommt man auf die von Framl geschriebene Matrix. Aber warum multipliziert man mit [mm] \bruch{1}{2- \lambda}?
[/mm]
das ist mir irgendwie nochschleierhaft, ich danke euch für die bisherige hilfe!
mfg
eldanielo
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Hi nochmal,
> Hey,
> du hast natürlich recht wenn man die Gleichung so auflöst,
> wie du es mir erläutert hast, kommt man auf die von Framl
> geschriebene Matrix. Aber warum multipliziert man mit
> [mm]\bruch{1}{2- \lambda}?[/mm]
Die Ausgangsmatrix $ [mm] \begin{pmatrix}2-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & 2-\lambda & 0 \\ 0&0&1-\lambda \end{pmatrix}$ [/mm] ist ja schon beinahe in ZSF, die 3.Zeile "passt", da sind die ersten beiden Einträge schon Null
Einzig in der 2.Zeile stört der erste Eintrag [mm] $a_{21}=-1$, [/mm] da er [mm] \neq [/mm] 0 ist.
Ziel ist es also, durch die Umformung genau diesen Eintrag zu eliminieren, also zu Null zu machen, dann wäre die Matrix nämlich schon lecker in [mm] \triangle-Form.
[/mm]
Dann überlegt man sich halt, womit man den ersten Eintrag der ersten Zeile, also [mm] $a_{11}$ [/mm] multiplizieren muss, damit es Null ergibt, wenn man ihn auf den ersten Eintrag der zweiten Zeile addiert.
Also überlegt man sich, dass [mm] $a_{11}\cdot{}x+a_{21}=0$ [/mm] sein soll
dh. [mm] $(2-\lambda)\cdot{}x-1=0\Rightarrow (2-\lambda)\cdot{}x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2-\lambda}$
[/mm]
Die Überlegung kannst du ja auch mal allg. anstellen, dann musst du nicht jedes Mal rechnen 
[mm] $a_{11}\cdot{}x+a_{21}=0\Rightarrow x=-\frac{a_{21}}{a_{11}}$ [/mm] , natürlich nur für [mm] $a_{11}\neq [/mm] 0$
>
> das ist mir irgendwie nochschleierhaft, ich danke euch für
> die bisherige hilfe!
>
> mfg
> eldanielo
Gruß
schachuzipus
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