charakteristisches Polynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 So 11.04.2010 | | Autor: | elba |
Wie beweist man das charakteristische Polynom?
Definiert ist es ja als: Sei A eine nxn-Matrix über dem Körper K. [mm] k\in [/mm] K. Dann nennt man das Polynom:
[mm] \chi_{\lambda}=det(A-\lambda [/mm] E)
das charakteristische Polynom.
Ich wurde letztens von meinem Professor gefragt wie man das beweisen kann. Aber ich hab keine Ahnung wie ich da anfangen soll irgendwas zu zeigen.
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 11.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie beweist man das charakteristische Polynom?
> Definiert ist es ja als: Sei A eine nxn-Matrix über dem
> Körper K. [mm]k\in[/mm] K. Dann nennt man das Polynom:
> [mm]\chi_{\lambda}=det(A-\lambda[/mm] E)
> das charakteristische Polynom.
>
> Ich wurde letztens von meinem Professor gefragt wie man das
> beweisen kann. Aber ich hab keine Ahnung wie ich da
> anfangen soll irgendwas zu zeigen.
Da steht nur eine Definition des charakteristischen Polynoms.
Welche Aussage sollst du beweisen? Die hast du nicht aufgeschrieben.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 11.04.2010 | | Autor: | elba |
Also mein Professor fragte mich wie die Definition des charakteristischen Polynoms ist. Daraufhin habe ich ihm die genannt und er hat mich gefragt, ob ich die auch beweisen könnte.
Bräuchte ich dafür eine Aussage die ein charakteristisches Polynom zu einer Matrix angibt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 11.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also mein Professor fragte mich wie die Definition des
> charakteristischen Polynoms ist. Daraufhin habe ich ihm die
> genannt und er hat mich gefragt, ob ich die auch beweisen
> könnte.
Eine Definition kannst du nicht beweisen, denn die führt nur einen neuen Begriff ein. Eine Aussage kannst du beweisen. Entweder wollte er dich aufs Glatteis führen, oder du hast ihn falsch verstanden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 11.04.2010 | | Autor: | elba |
ich hab nochmal drüber nachgedacht.
kann man irgendwie beweisen, dass die eigenwerte die nullstellen des charakteristischen polynoms sind? es könnte auch sein, dass er mich nach einem beweis in diesem zusammenhang gefragt hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 So 11.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, kann man natürlich. Was ist denn ein Eigenwert?
Wann hat ein lin GS eine Lösung? wenn du die 2 sachen zusammenbringst weisst du, warum man [mm] det(A-\lambda [/mm] E) rechnet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 11.04.2010 | | Autor: | elba |
Also ein Eigenwert ist definiert als ein Körperelement [mm] \lambda \in [/mm] K, wenn es einen Vektor [mm] v\in [/mm] V gibt, so dass
[mm] f(v)=\lambda [/mm] v ist mit v [mm] \not= [/mm] 0
Daraus folgt dann, dass Av- [mm] \lambda [/mm] v=0 = [mm] (A-\lambda [/mm] E) ist.
Jetzt muss man sich überlegen, wann diese Gleichung eine Lösung hat, für v [mm] \not= [/mm] 0, oder??
Aber wie mach ich da jetzt weiter??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 So 11.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Du hast noch einen kleinen Schreibfehler gemacht, so müsste es sein:
A*v - [mm] \lambda [/mm] * v = 0 <=> (A - [mm] \lambda [/mm] * E)*v = 0
Ja das ist ja schon der halbe Beweis.
Genau, das Gleichungssystem soll eine Lösung haben für v [mm] \not= [/mm] 0. Und wann hat ein lineares homogenes Gleichungssystem eine Lösung?
Antwort: Wenn die Determinante dieses Gleichungssystems bzw. dieser Matrix gleich Null ist. Also folgt det(A - [mm] \lambda [/mm] * E) = 0
Jetzt musst du wissen wie die Determinante definiert ist...
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 11.04.2010 | | Autor: | elba |
also folgt doch aus dem teil, dass ein LGS eine Lösung hat, wenn [mm] det(A-\lambda [/mm] E)=0, dass somit [mm] \lambda [/mm] Nullstelle des Charakteristischen Polynoms sein muss??
Und die Definition der Determinante einer 2x2-Matrix ist:
det [mm] \pmat{ a & b \\ c & d} [/mm] = ad-bc
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Hallo!
> also folgt doch aus dem teil, dass ein LGS eine Lösung
> hat, wenn [mm]det(A-\lambda[/mm] E)=0, dass somit [mm]\lambda[/mm] Nullstelle
> des Charakteristischen Polynoms sein muss??
Genau.
Und weil alle Aussagen äquivalent sind, brauchst du auch nicht die Rückrichtung zu beweisen (char. Pol. hat Nullstelle --> Diese Nullstelle ist ein Eigenwert).
> Und die Definition der Determinante einer 2x2-Matrix ist:
> det [mm]\pmat{ a & b \\ c & d}[/mm] = ad-bc
Ja - genauer genommen ist das bloß eine Folgerung aus der Leibnizschen Formel, die entweder als Definition für die Determinante angegeben wird oder die Axiome erfüllt.
Grüße,
Stefan
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