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Hallo, zusammen!
Meine Frage:
Seien A, B zwei quadratische Matrizen gleicher Größe.
Sind dann das charakteristische Polynom von A*B und das von B*A immer gleich?
Wenn eine der beiden Matrizen invertierbar ist, ist es ja klar, aber wie sieht es aus wenn beide nicht invertierbar sind.
Man weiß ja zumindest, dass die Eigenwerte von A*B und B*A gleich sind,
genauso wie det(A*B) = det(B*A).
Ein Beweis gelingt mir leider nicht, gehe auch davon aus, dass es nicht stimmt, wenn beide nicht invertierbar sind.
Allerdings hab ich es auch nicht geschafft ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
Danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Dir wird es nicht gelingen ein Gegenbeispiel zu konstruieren, da die Aussage wahr ist.
Hier wird gezeigt, dass die Aussage auch für eine Matrix der Form
[mm] $A_r [/mm] = [mm] \pmat{ E_r & 0 \\ 0 & 0}$
[/mm]
wahr ist.
Nun gibt es aber, wenn $A$ nicht invertierbar ist, invertierbare Matrizen $C$ und $D$ mit
$A = CA_rD$,
wobei [mm] $A_r$ [/mm] von der obigen Form ist. Daraus folgt für eine beliebige $(n [mm] \times [/mm] n)$-Matrix $B$ mit dem bereits Bewiesenen:
[mm] $CP_{AB}(t)$
[/mm]
$= [mm] CP_{CA_rDB}(t)$
[/mm]
$= [mm] CP_{A_rDBC}(t)$ [/mm] (da $C$ invertierbar)
$= [mm] CP_{DBCA_r}(t)$ [/mm] (siehe Link)
$= [mm] CP_{BCA_rD}(t)$ [/mm] (da $D$ invertierbar)
$= [mm] CP_{BA}(t)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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