charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Fr 21.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Sie haben das charakterischische Polynom [mm] char(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+4)(\lambda-2)^{2} [/mm] mit [mm] \lambda\in\IR
[/mm]
theoretisches Verfahren
a)Ist die dazugehörende Matrix A diagonalisierbar?
b)Geben Sie eine Basis zum Eigenraum an? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey,
Diese Aufgabenstellung hab ich mir selbst überlegt, weil mir ein paar Zusammenhänge in der Eigenwerttheorie nicht ganz klar sind. Deshalb entschuldigt möglische Schwächen in der Fragestellung.
Ich bin auch dankbar für Hinweise auf fachsprachlich falsche Aussagen.
a)Die Nullstellen vom char. Polynom und damit die Eigenwerte sind ja offensichtlich 1,2,-4.
Jetzt stellt sich für die Diagonalisierbarkeit die Frage, ob die geometrische Vielfalt aller Eigenwerte =4 ist(da es 3 Eigenwerte gibt, ist sie schonmal mindestenst 3). Da die algebraische Vielfalt =4 ist, kann man dies nicht von Anfang an ausschließen.
Also bleibt zu prüfen, welche geo. Vielfalt der Eigenwert 2 hat(da hier die alg. Vielfalt =2 ist).
Reicht es hier zu zeigen, ob in der char. Matrix [mm] (A-\lambda*E_{4}) [/mm] für [mm] \lambda=2 [/mm] eine oder zwei Nullzeilen möglich sind und dann zu sagen, dass für eine mögliche Nullzeile A nicht diagonalisierbar ist und für zwei schon?
b)Wenn ich schon weiß, dass die geo. Vielfalt =4 ist(also gleich der Dimension vom Raum), kann ich dann irgendeine Basis nehmen?
Wenn nach Basen des Eigenraums zu den Eigenwerten gefragt ist, muss ich dann [mm] (A-\lambda*E_{4})x=0 [/mm] lösen?
Und wenn A aus den komplexen Zahlen ist, ist dann die geo. Vielfalt immer gleich der Dimension vom Raum? Kann ich dann irgendeine Basis nehmen oder muss ich hier auch [mm] (A-\lambda*E_{4})x=0 [/mm] lösen?
(Diese letzte Frage sind die beiden Fragen vorher speziell auf komplexe Zahlen bezogen)
Hoffe meine Fragen sind verstädnlich.
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FEHLER-KORREKTUR
Hi,
vorweg: ich weiß nicht, ob ich deine Fragen alle richtig verstehe, aber vielleicht hilft dir meine Sichtweise ein bisschen weiter.
> Sie haben das charakterischische Polynom
> [mm]char(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+4)(\lambda-2)^{2}[/mm] mit
> [mm]\lambda\in\IR[/mm]
>
> theoretisches Verfahren
> a)Ist die dazugehörende Matrix A diagonalisierbar?
--------------------------
FALSCH
Da [mm] $det(\lambda*E-A) [/mm] = [mm] char(\lambda)$ [/mm] würde ich klar sagen, dass sie diagonalisierbar ist, denn A lässt sich ja sofort angeben:
A = [mm] \pmat{1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0& 0& 2 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 2}
[/mm]
Die Matrix liefert zumindest dein charakteristisches Polynom. Und die ist offensichtlich diagonalisiert. Ob A jetzt vorher mal anders aussah - egal.
FALSCH ENDE
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Kurze Bemerkung: Ich hab es nicht durchdacht. Richtig ist natürlich, dass es diagonalisierbare Matrizen mit diesem charakteristischem Polynom gibt (mein Beispiel), aber andersrum gilt das tatsächlich nicht, d.h. nicht alle Matrizen zu diesem char. Polynom sind diagonalisierbar.
> b)Geben Sie eine Basis zum Eigenraum an?
-----------------------------------
Der Rest gilt entsprechend natürlich nur für mein triviales Beispiel. Das Vorgehen ist bei bekannter Matrix A und bereits berechneten Eigenwerten meines Wissens üblich.
Naja, ich kenne das mit dem Ansatz: $Av = av$, wobei a Eigenwert und v dann ein Eigenvektor ist.
Für [mm] a_1 [/mm] = 1 bekäme man hier z.B. als Lösung raus: v = [mm] \vektor{t \\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] also gibt es hier einen Basisvektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Für [mm] a_2 [/mm] = 2 steht dann da:
[mm] \vektor{v_1 \\ -4 v_2 \\ 2v_3 \\2v_4} [/mm] = 2 * [mm] \vektor{ v_1\\ v_2 \\ v_3 \\ v_4}$
[/mm]
Da sieht man, dass das nur geht, wenn [mm] v_1=v_2 [/mm] = 0 ist. Die beiden anderen Einträge sind dagegen beliebig, und das unabhängig voneinander, also braucht man hier zwei Basisvektoren, z.B. [mm] \vektor{0\\0 \\1 \\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0 \\ 0 \\1 }
[/mm]
Vielleicht helfen dir die Gedanken weiter. Mit den Begriffen kann ich nicht so viel anfangen, deswegen kann ich dir auf diese allgemeineren Fragen bzgl. geometrische/algebraische Vielfalt und deren Zusammenhang mit der Dimension der Eigenräume keine vernünftigen Antworten geben.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey,
> Diese Aufgabenstellung hab ich mir selbst überlegt, weil
> mir ein paar Zusammenhänge in der Eigenwerttheorie nicht
> ganz klar sind. Deshalb entschuldigt möglische Schwächen
> in der Fragestellung.
> Ich bin auch dankbar für Hinweise auf fachsprachlich
> falsche Aussagen.
>
> a)Die Nullstellen vom char. Polynom und damit die
> Eigenwerte sind ja offensichtlich 1,2,-4.
>
> Jetzt stellt sich für die Diagonalisierbarkeit die Frage,
> ob die geometrische Vielfalt aller Eigenwerte =4 ist(da es
> 3 Eigenwerte gibt, ist sie schonmal mindestenst 3). Da die
> algebraische Vielfalt =4 ist, kann man dies nicht von
> Anfang an ausschließen.
>
> Also bleibt zu prüfen, welche geo. Vielfalt der Eigenwert
> 2 hat(da hier die alg. Vielfalt =2 ist).
>
> Reicht es hier zu zeigen, ob in der char. Matrix
> [mm](A-\lambda*E_{4})[/mm] für [mm]\lambda=2[/mm] eine oder zwei Nullzeilen
> möglich sind und dann zu sagen, dass für eine mögliche
> Nullzeile A nicht diagonalisierbar ist und für zwei
> schon?
>
> b)Wenn ich schon weiß, dass die geo. Vielfalt =4 ist(also
> gleich der Dimension vom Raum), kann ich dann irgendeine
> Basis nehmen?
>
> Wenn nach Basen des Eigenraums zu den Eigenwerten gefragt
> ist, muss ich dann [mm](A-\lambda*E_{4})x=0[/mm] lösen?
>
> Und wenn A aus den komplexen Zahlen ist, ist dann die geo.
> Vielfalt immer gleich der Dimension vom Raum? Kann ich dann
> irgendeine Basis nehmen oder muss ich hier auch
> [mm](A-\lambda*E_{4})x=0[/mm] lösen?
> (Diese letzte Frage sind die beiden Fragen vorher speziell
> auf komplexe Zahlen bezogen)
>
> Hoffe meine Fragen sind verstädnlich.
!DANKE FÜR DEN HINWEIS AUF DEN FEHLER!
lg weightgainer
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:55 Fr 21.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Sie haben das charakterischische Polynom
> > [mm]char(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+4)(\lambda-2)^{2}[/mm] mit
> > [mm]\lambda\in\IR[/mm]
> >
> > theoretisches Verfahren
> > a)Ist die dazugehörende Matrix A diagonalisierbar?
>
> Da [mm]det(\lambda*E-A) = char(\lambda)[/mm] würde ich klar sagen,
> dass sie diagonalisierbar ist, denn A lässt sich ja sofort
> angeben:
>
> A = [mm]\pmat{1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0& 0& 2 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> Die Matrix liefert zumindest dein charakteristisches
> Polynom. Und die ist offensichtlich diagonalisiert.
Nur weil eine Matrix mit diesem char. Polynom diagonalisierbar ist, heisst das noch lange nicht, dass alle Matrizen mit diesem char. Polynom diagonalisierbar sind!
Die Matrix [mm]B = \pmat{1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0& 0& 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2}[/mm] ist etwa nicht diagonalisierbar und hat ebenfalls das gleiche char. Polynom!
LG Felix
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:24 Fr 21.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
Hat sich erledigt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Fr 21.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
beantwortet
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Fr 21.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sie haben das charakterischische Polynom
> [mm]char(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+4)(\lambda-2)^{2}[/mm] mit
> [mm]\lambda\in\IR[/mm]
>
> theoretisches Verfahren
> a)Ist die dazugehörende Matrix A diagonalisierbar?
> b)Geben Sie eine Basis zum Eigenraum an?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey,
> Diese Aufgabenstellung hab ich mir selbst überlegt, weil
> mir ein paar Zusammenhänge in der Eigenwerttheorie nicht
> ganz klar sind. Deshalb entschuldigt möglische Schwächen
> in der Fragestellung.
> Ich bin auch dankbar für Hinweise auf fachsprachlich
> falsche Aussagen.
>
> a)Die Nullstellen vom char. Polynom und damit die
> Eigenwerte sind ja offensichtlich 1,2,-4.
>
> Jetzt stellt sich für die Diagonalisierbarkeit die Frage,
> ob die geometrische Vielfalt aller Eigenwerte =4 ist(da es
> 3 Eigenwerte gibt, ist sie schonmal mindestenst 3). Da die
> algebraische Vielfalt =4 ist, kann man dies nicht von
> Anfang an ausschließen.
Genau.
> Also bleibt zu prüfen, welche geo. Vielfalt der Eigenwert
> 2 hat(da hier die alg. Vielfalt =2 ist).
Exakt.
> Reicht es hier zu zeigen, ob in der char. Matrix
> [mm](A-\lambda*E_{4})[/mm] für [mm]\lambda=2[/mm] eine oder zwei Nullzeilen
> möglich sind und dann zu sagen, dass für eine mögliche
> Nullzeile A nicht diagonalisierbar ist und für zwei
> schon?
Ja. Es reicht auch zu zeigen, dass es zwei Zeilen in der Matrix $A - 2 [mm] E_4$ [/mm] gibt, die kein Vielfaches voneinander sind. Daraus folgt, dass die Dimension des Bildraumes mindestens zwei ist, womit der Rang mindestens zwei ist. Da wir wissen, dass er hoechstens zwei sein kann, muss er dann also exakt gleich zwei sein.
Wenn es keine zwei solchen Zeilen gibt, sind alle Vielfache voneinander, das kann man normalerweise sofort sehen.
In diesem Fall ist es also schon "durch Hinschauen" (und etwas Kopfrechnen) zu ueberpruefen 
> b)Wenn ich schon weiß, dass die geo. Vielfalt =4 ist(also
> gleich der Dimension vom Raum), kann ich dann irgendeine
> Basis nehmen?
Nein. Du musst eine Basis aus Eigenvektoren nehmen. Dazu rechnest du zu jedem Eigenvektor eine Basis aus und schreibst diese alle hintereinander hin.
Ausnahme: es gibt nur einen einzigen Eigenwert und dessen geo. Vielfachheit ist gleich der alg. Vielfachheit. In dem Fall ist deine Matrix aber ein Vielfaches der Einheitsmatrix 
> Wenn nach Basen des Eigenraums zu den Eigenwerten gefragt
> ist, muss ich dann [mm](A-\lambda*E_{4})x=0[/mm] lösen?
Ja, oder anders: eine Basis von [mm] $\ker [/mm] (A - [mm] \lambda E_4)$ [/mm] berechnen fuer alle Eigenwerte [mm] $\lambda$.
[/mm]
> Und wenn A aus den komplexen Zahlen ist, ist dann die geo.
> Vielfalt immer gleich der Dimension vom Raum?
Nein. Die Matrix $C = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }$ [/mm] mit [mm] $\lambda [/mm] = 0$ ist ein Gegenbeispiel: egal ueber welchem Koerper du bist (insbesondere ueber [mm] $\IC$), [/mm] die alg. Vielfachheit ist 2, waehrend die geom. Vielfachheit gleich 1 ist.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Fr 21.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
Alles klar
Danke Felix
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