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| Aufgabe | Es seien a und b zwei teilerfremde positive ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass der Ring [mm] \IZ/a*b*\IZ
[/mm]
isomorph zum Produkt der Ringe [mm] (\IZ /a\IZ) [/mm] × [mm] (\IZ /b\IZ) [/mm] ist.
Hinweis: Konstruieren Sie einen Ringhomomorphismus [mm] \phi [/mm] : [mm] \IZ /a*b*\IZ \rightarrow (\IZ /a*\IZ) \times (\IZ /b*\IZ).
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus ist. |
Hallo Freunde der Mathematik,
was ist denn mit dem Produkt der Ringe gemeint?
1) Das kartesische Produkt, also die Zahlentupel, die sich durch die Reste von a und b ergeben?
2) Das Produkt der Reste?
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich würde das 1) vermuten, denn für isomorphie muss die Anzahl der Elemente in den Grp. ja gleich sein, und ich glaube, dass passt mit 2) nicht. Oder verstehe ich das vollkommen falsch?
Über einen Hinweis würde ich mich sehr freuen.
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Hi,
> Es seien a und b zwei teilerfremde positive ganze Zahlen.
> Zeigen Sie, dass der Ring [mm]\IZ/a*b*\IZ[/mm]
> isomorph zum Produkt der Ringe [mm](\IZ /a\IZ)[/mm] × [mm](\IZ /b\IZ)[/mm]
> ist.
> Hinweis: Konstruieren Sie einen Ringhomomorphismus [mm]\phi[/mm] :
> [mm]\IZ /a*b*\IZ \rightarrow (\IZ /a*\IZ) \times (\IZ /b*\IZ).[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus ist.
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> was ist denn mit dem Produkt der Ringe gemeint?
> 1) Das kartesische Produkt, also die Zahlentupel, die sich
> durch die Reste von a und b ergeben?
Genauer sind es Elemente in [mm]\IZ/a\IZ[/mm] bzw. [mm]\IZ/b\IZ[/mm]. Ein Element
[mm](m,n)\in \IZ/a\IZ \times \IZ/b\IZ[/mm] besteht aus [mm]m\in \IZ/a\IZ[/mm] und [mm]n\in \IZ/b\IZ[/mm].
>
> 2) Das Produkt der Reste?
>
Was meinst du?
[mm]\IZ/ab\IZ[/mm] oder wie bei 1) [mm]\IZ/a\IZ \times \IZ/b\IZ[/mm]?
Ersteres enthält nun Elemente [mm]m+ab\IZ \in \IZ/ab\IZ[/mm].
> Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich würde das 1)
> vermuten, denn für isomorphie muss die Anzahl der Elemente
> in den Grp. ja gleich sein, und ich glaube, dass passt mit
> 2) nicht. Oder verstehe ich das vollkommen falsch?
>
> Über einen Hinweis würde ich mich sehr freuen.
>
Um die Aufgabe zu lösen betrachtest du die Abbildung
[mm]\phi : \IZ/ab\IZ \to \IZ/a\IZ \times \IZ/b\IZ[/mm]
[mm]\phi(x+ab\IZ)=(x+a\IZ,x+b\IZ)[/mm]
Du solltest zeigen:
- Wohldefiniertheit von [mm] $\phi$
[/mm]
- Eigenschaften des Ringhomomorphimus bei [mm] $\phi$
[/mm]
- Bijektivität von [mm] $\phi$
[/mm]
Je nach dem, was ihr schon hattet genügt es auch mit der richtigen Begründung zu zeigen, dass [mm]\phi[/mm] injektiv ist.
gruß
wieschoo
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Danke so weit, ich konnte mit dem Produkt nicht viel anfangen. Um mir das etwas deutlicher zu machen betrachte ich mal ein Bsp.:
ich betrachte das mal für die Zahlen a=2 und b=3 :
[mm] (\IZ /2*3\IZ [/mm] )= { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
und
[mm] (\IZ /2\IZ [/mm] ) [mm] \times (\IZ /3\IZ [/mm] ) = { (0,0); (0,1); (0,2); (1,0); (1,1); (1,2) } (Ist das richtig?)
Und wenn das stimmt, dann sieht man ja leicht, dass die beiden Mengen die gleiche Anzahl an Elementen besitzen. Damit reicht es dann doch für die bijektivität die injektivität zu zeigen, oder?
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> Danke so weit, ich konnte mit dem Produkt nicht viel
> anfangen. Um mir das etwas deutlicher zu machen betrachte
> ich mal ein Bsp.:
>
> ich betrachte das mal für die Zahlen a=2 und b=3 :
>
> [mm](\IZ /2*3\IZ[/mm] )= { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
>
> und
> [mm](\IZ /2\IZ[/mm] ) [mm]\times (\IZ /3\IZ[/mm] ) = { (0,0); (0,1); (0,2);
> (1,0); (1,1); (1,2) } (Ist das richtig?)
>
> Und wenn das stimmt, dann sieht man ja leicht, dass die
> beiden Mengen die gleiche Anzahl an Elementen besitzen.
> Damit reicht es dann doch für die bijektivität die
> injektivität zu zeigen, oder?
Schrieb ich ja auch, dass e genügt die Injektivität nachzuweisen.
Man weiß ja wie viele Elemente [mm]\IZ/m\IZ[/mm] hat.
Und des Weiteren ist
[mm]m=\prod^n m_i=\prod^n |\IZ/m_i\IZ|=|\IZ/m_1\IZ\times \IZ/m_2\IZ \times \ldots \times \IZ/m_n\IZ|[/mm]
Ist ja alles endlich.
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Gut, dann mal zuerst die Wohldefiniertheit:
OBdA betrachte ich dafür nur [mm] \pi [/mm] : [mm] \IZ [/mm] / [mm] ab\IZ \rightarrow \IZ /a\IZ [/mm] , mit [mm] \pi [/mm] (x+ [mm] ab\IZ)= x+a\IZ [/mm] , mit a,b [mm] \in \IN
[/mm]
es gilt: a|ab
sei [mm] x+ab\IZ [/mm] = [mm] y+ab\IZ \gdw x-y=ab\IZ \Rightarrow [/mm] ab|x-y [mm] \Rightarrow [/mm] a|x-y [mm] \Rightarrow x+a\IZ [/mm] = [mm] y+a\IZ=\pi (x+ab\IZ)=\pi (y+ab\IZ)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pi [/mm] ist wohldefiniert
Stimmt das?
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> Gut, dann mal zuerst die Wohldefiniertheit:
>
> OBdA betrachte ich dafür nur [mm]\pi[/mm] : [mm]\IZ[/mm] / [mm]ab\IZ \rightarrow \IZ /a\IZ[/mm]
> , mit [mm]\pi[/mm] (x+ [mm]ab\IZ)= x+a\IZ[/mm] , mit a,b [mm]\in \IN[/mm]
> es gilt:
> a|ab
>
> sei [mm]x+ab\IZ[/mm] = [mm]y+ab\IZ \gdw x-y=ab\IZ \Rightarrow[/mm] ab|x-y
> [mm]\Rightarrow[/mm] a|x-y [mm]\Rightarrow x+a\IZ[/mm] = [mm]y+a\IZ=\pi (x+ab\IZ)=\pi (y+ab\IZ)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \pi[/mm] ist wohldefiniert
>
> Stimmt das?
Die Reihenfolge ist ein bissel durcheinander
Sei [mm]x+ab\IZ = y+ab\IZ[/mm]. Dann [mm]ab\mid x-y \Rightarrow a\mid x-y[/mm]
Also
[mm]\pi(x+ab\IZ)=x+a\IZ=y+a\IZ=\pi(y+ab\IZ)[/mm]
und das Gleiche für b.
(Allerding kannst du auch für a oder b einen beliebigen Teiler d einsetzen. Dann brauchst du es nur einmal aufschreiben.)
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Gut, dann der Ringhomo.:
1.)
[mm] \phi((x+ab\IZ)+(y+ab\IZ))=\phi(x+y+ab\IZ)=(x+y+a\IZ [/mm] ; [mm] x+y+b\IZ)
[/mm]
[mm] =((x+a\IZ)+(y+a\IZ) [/mm] ; [mm] (x+b\IZ)+(y+b\IZ))
[/mm]
[mm] =((x+a\IZ);(x+b\IZ))+((y+a\IZ);(y+b\IZ))
[/mm]
[mm] =\phi(x+ab\IZ)+\phi(y+ab\IZ)
[/mm]
2.)
[mm] \phi((x+ab\IZ)(y+ab\IZ))=\phi(xy+ab\IZ)
[/mm]
[mm] =(xy+a\IZ [/mm] ; [mm] xy+b\IZ)=((x+a\IZ);(x+b\IZ))*((y+a\IZ);(y+b\IZ))
[/mm]
[mm] =\phi(x+ab\IZ)\phi(y+ab\IZ)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi [/mm] ist Ringhomo.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 17.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 So 17.06.2012 | | Autor: | triad |
> Gut, dann der Ringhomo.:
>
> 1.)
> [mm]\phi((x+ab\IZ)+(y+ab\IZ))=\phi(x+y+ab\IZ)=(x+y+a\IZ[/mm] ;
> [mm]x+y+b\IZ)[/mm]
> [mm]=((x+a\IZ)+(y+a\IZ)[/mm] ; [mm](x+b\IZ)+(y+b\IZ))[/mm]
> [mm]=((x+a\IZ);(x+b\IZ))+((y+a\IZ);(y+b\IZ))[/mm]
> [mm]=\phi(x+ab\IZ)+\phi(y+ab\IZ)[/mm]
>
> 2.)
> [mm]\phi((x+ab\IZ)(y+ab\IZ))=\phi(xy+ab\IZ)[/mm]
> [mm]=(xy+a\IZ[/mm] ;
> [mm]xy+b\IZ)=((x+a\IZ);(x+b\IZ))*((y+a\IZ);(y+b\IZ))[/mm]
> [mm]=\phi(x+ab\IZ)\phi(y+ab\IZ)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi[/mm] ist Ringhomo.
Das sieht gut aus, hab ich auch so gemacht. Fehlt noch das Einselement, oder? Also [mm] $\varphi(1_{\IZ/ab\IZ})=1_{\IZ/a\IZ \times \IZ/b\IZ}$. [/mm] Weiß nur nicht, ob das so passt, mir fällt aber auch nichts Besseres ein als
$ [mm] \varphi(1_{\IZ/ab\IZ})=\varphi(1+\IZ/ab\IZ)=(1+\IZ/a\IZ, 1+\IZ/b\IZ)=1_{\IZ/a\IZ \times \IZ/b\IZ} [/mm] $.
Die Injektivität hab ich versucht, der Beweis war aber falsch.
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