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Forum "Trigonometrische Funktionen" - cos2(x)=sin2(2x)
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cos2(x)=sin2(2x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Mo 23.04.2018
Autor: tynia

Hallo zusammen,

ich stehe irgendwie auf dem Schlauch und hoffe ihr könnt mir helfen.

Ich soll alle  x [mm] \in \IR [/mm] bestimmen, für die gilt:
[mm] cos^2(x)=sin^2(2x) [/mm]

was ich gemacht habe ist folgendes:
[mm] cos^2(x)=sin^2(2x) \gdw [/mm]
[mm] cos^2(x)=sin(2x)*sin(2x) \gdw [/mm]
[mm] cos^2(x)= [/mm] 2sin(x)cos(x)  2sin(x)cos(x) [mm] \gdw [/mm]
[mm] cos^2(x)= 4sin^2(x) cos^2(x) \Rightarrow [/mm]
1 = [mm] 4sin^2(x) \Rightarrow [/mm]
0.25 = [mm] sin^2(x) \Rightarrow [/mm]
sin(x) = |0.25|

Und ab hier sweiß ich nicht weiter. ich hoffe mir kann jemand helfen.

Danke und viele Grüße

        
Bezug
cos2(x)=sin2(2x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Mo 23.04.2018
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich stehe irgendwie auf dem Schlauch und hoffe ihr könnt
> mir helfen.
>  
> Ich soll alle  x [mm]\in \IR[/mm] bestimmen, für die gilt:
>  [mm]cos^2(x)=sin^2(2x)[/mm]
>  
> was ich gemacht habe ist folgendes:
>  [mm]cos^2(x)=sin^2(2x) \gdw[/mm]
>  [mm]cos^2(x)=sin(2x)*sin(2x) \gdw[/mm]
>  
> [mm]cos^2(x)=[/mm] 2sin(x)cos(x)  2sin(x)cos(x) [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]cos^2(x)= 4sin^2(x) cos^2(x) \Rightarrow[/mm]
>  1 = [mm]4sin^2(x) \Rightarrow[/mm]
>  
> 0.25 = [mm]sin^2(x) \Rightarrow[/mm]
>  sin(x) = |0.25|


Hä , das verstehe ich nicht.  Ich bekomme sin(x)= [mm] \pm [/mm] 1/2.

Oben hast Du durch cos (x) dividiert,  also ist noch der Fall cos (x)=0 zu diskutieren



>  
> Und ab hier sweiß ich nicht weiter. ich hoffe mir kann
> jemand helfen.
>  
> Danke und viele Grüße


Bezug
                
Bezug
cos2(x)=sin2(2x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:35 Mo 23.04.2018
Autor: tynia

sorry, ich habe mich vertan. Ich bekomme:
sin(x) = |0.5|

Bezug
                        
Bezug
cos2(x)=sin2(2x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:53 Mo 23.04.2018
Autor: Steffi21

Hallo, bedenke ALLE [mm] x\in\IR [/mm] sind zu bestimmen, die Sinusfunktion ist periodisch, mal den Anfang

[mm] sin(x)=\pm0,5 [/mm]

Du bekommst für x

... [mm] -390^0; -330^0; -210^0; -150^0; -30^0; 30^0; 150^0; 210^0; 330^0; 390^0 [/mm] ...

was Du auch im Bogenmaß ausdrücken kannst, dann noch verallgemeinern

dann fehlt Dir aber noch der Fall cos(x)=0



Steffi

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Bezug
cos2(x)=sin2(2x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:06 Di 24.04.2018
Autor: fred97


> sorry, ich habe mich vertan. Ich bekomme:
>  sin(x) = |0.5|

Nein. Du bekommst |sin(x)|=0.5.

Vom  Cosinus habe ich oben  auch geredet,  Du nicht mehr?


Bezug
                                
Bezug
cos2(x)=sin2(2x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:54 Di 24.04.2018
Autor: tynia

Ok. ich habe mich vertan. ich bekomme einmal:

cos(x)=0 und |sin(x)|=0.5 . Als Lösung ist folgendes angegeben:

x [mm] \in \{ \bruch{\pi}{6}+k\bruch{\pi}{3}|k \in \IZ \} [/mm]

Ich komme aber irgendwie nicht auf die Lösung. Vielleicht kann mir nochmal jemand helfen.

Danke

Bezug
                                        
Bezug
cos2(x)=sin2(2x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Di 24.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

vorneweg: für zielführende Hilfe in einem solchen Forum sind deine Reaktionen auf die bisher gegebenen Antworten zu lieblos gestaltet: es geht hier schließlich darum, Aufgaben gemeinsam zu lösen, und da gehören vom Fragesteller schon vernünftige und ausführliche Problembeschreibungen dazu.

> Ok. ich habe mich vertan. ich bekomme einmal:

>

> cos(x)=0 und |sin(x)|=0.5 .

Ja, soweit ist man in diesem Thread aber schon nach der ersten Antwort (von FRED) gewesen.

> Als Lösung ist folgendes
> angegeben:

>

> x [mm]\in \{ \bruch{\pi}{6}+k\bruch{\pi}{3}|k \in \IZ \}[/mm]

>

> Ich komme aber irgendwie nicht auf die Lösung. Vielleicht
> kann mir nochmal jemand helfen.

Das ist aber nur die Teillösung für den Fall |sin(x)|=0.5.

Bestimmen wir mal die Teillösungen. Zunächst die vier Lösungen in der Periode [mm] [-\pi,\pi] [/mm] für |sin(x)|=0.5:

[mm] x_{1,2}=\pm\frac{\pi}{6} [/mm]

[mm] x_{3,4}=\pm\frac{5}{6}\pi [/mm]

Jetzt noch zwei Lösungen für den Fall cos(x)=0:

[mm] x_5=\frac{\pi}{2} [/mm]

[mm] x_6=\frac{3}{2}\pi [/mm]

Zu diesen Lösungen kann man jetzt jeweils [mm] 2k\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] hinzuaddieren, oder man beginnt, über die Sache nachzudenken. Tut man dies, indem man sich alle diese Teillösungen auf der reellen Zahlenachse angeordnet denkt, so fällt einem etwas durchaus markantes auf: alle Lösungen besitzen zu ihren Vorgängern bzw. Nachfolgern den gleichen Abstand [mm]\pi/3[/mm]. Und so wurde die Lösungsmenge für den hier behandelten Fall eben wie angegeben zusammengefasst.

Jetzt fehlt wie gesagt nach wie vor die Lösungsmenge für den Fall cos(x)=0.

Sorry für meine morgendlichen Fehler...


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
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cos2(x)=sin2(2x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:33 Mo 07.05.2018
Autor: tynia

Vielen Lieben Dank.

Tut mir leid, aber ich war bisschen im Stress.

Liebe Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
cos2(x)=sin2(2x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Mo 07.05.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Vielen Lieben Dank.

Gern geschehen.

> Tut mir leid, aber ich war bisschen im Stress.

Na ja, die Aufgabe war ja schon etwas 'tricky', zumindest was die schöne Zusammenfassung der Lösungsmenge angeht.

Wenn man in einem Matheforum viele Antworten verfasst, macht man schnell die Erfahrung, dass es unheimlich wichtig ist, dass Fragen präzise gestellt werden. Es ist ja durchaus auch so, dass bei uns Antwortgebern eine gewisse Warhscheinlichkeit dafür besteht, etwas misszuverstehen. Das passiert aber natürlich bei präzisen Problembeschreibungen deutlich seltener. Daher meine obige Kritik.

Auf der anderen Seite weiß ich schon auch um die Situation im Studium heutzutage und habe dafür Verständnis, dass man sich dem Stress manchmal kaum erwehren kann. Und dann kommt so eine fiese Aufgabe... :-)


Gruß, Diophant

Bezug
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