cos(1/z) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Hat [mm] f(z)=\cos(\frac{1}{z}) [/mm] eine wesentliche oder eine hebbare Singularität? |
Ich habe als erstes die Laurent-Entwicklung von [mm] \cos(\frac{1}{z}) [/mm] angeschaut und habe bekommen (mit der Taylor-Entwicklung vom cos):
[mm] \sum_{n=-\infty}^0(-1)^n\frac{1}{(-2n)!}z^{2n}
[/mm]
diese Reihe hat einen unendlich großen Hauptteil und damit hat [mm] f(z)=\cos(\frac{1}{z}) [/mm] eine wesentliche Singularität.
ANDERERSEITS ist aber [mm] |f(z)|=|\cos(\frac{1}{z})|\le1 [/mm] , also f(z) in einer Umgebung beschränkt. Und somit hätte ich eine hebbare Singularität.
Aber beides geht nicht. Was ist also richtig?
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Hallo Balendilin,
> Hat [mm]f(z)=\cos(\frac{1}{z})[/mm] eine wesentliche oder eine
> hebbare Singularität?
> Ich habe als erstes die Laurent-Entwicklung von
> [mm]\cos(\frac{1}{z})[/mm] angeschaut und habe bekommen (mit der
> Taylor-Entwicklung vom cos):
>
> [mm]\sum_{n=-\infty}^0(-1)^n\frac{1}{(-2n)!}z^{2n}[/mm]
>
> diese Reihe hat einen unendlich großen Hauptteil und damit
> hat [mm]f(z)=\cos(\frac{1}{z})[/mm] eine wesentliche
> Singularität. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo!
>
>
> ANDERERSEITS ist aber [mm]|f(z)|=|\cos(\frac{1}{z})|\le1[/mm]
Das gilt für den reellen Kosinus, aber nicht für den komplexen, der ist unbeschränkt! ..
> , also f(z) in einer Umgebung beschränkt.
Nein
> Und somit hätte ich eine hebbare Singularität.
Auch nein
>
>
> Aber beides geht nicht. Was ist also richtig?
Ersteres!
Gruß
schachuzipus
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> > ANDERERSEITS ist aber [mm]|f(z)|=|\cos(\frac{1}{z})|\le1[/mm]
>
> Das gilt für den reellen Kosinus, aber nicht für den
> komplexen, der ist unbeschränkt! ..
Wieso ist der komplexe Cosinus denn unbeschränkt?
Ich rate:
Ich kann den Cosinus schreiben als:
[mm] \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}
[/mm]
für [mm] z\rightarrow\infty [/mm] geht [mm] |e^{iz}|\rightarrow\infty [/mm] und [mm] |e^{-iz}|\rightarrow [/mm] 0
Deswegen ist der komplexe Cosinus unbeschränkt.
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Sa 12.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > > ANDERERSEITS ist aber [mm]|f(z)|=|\cos(\frac{1}{z})|\le1[/mm]
> >
> > Das gilt für den reellen Kosinus, aber nicht für den
> > komplexen, der ist unbeschränkt! ..
>
> Wieso ist der komplexe Cosinus denn unbeschränkt?
>
> Ich rate:
>
> Ich kann den Cosinus schreiben als:
>
> [mm]\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}[/mm]
>
> für [mm]z\rightarrow\infty[/mm] geht [mm]|e^{iz}|\rightarrow\infty[/mm] und
> [mm]|e^{-iz}|\rightarrow[/mm] 0
Wieso denn das? Das gilt nicht mal für reelle Werte für z. Diese Grenzwerte existieren nicht, denn die e-Funktion hat bei [mm] $z=\infty$ [/mm] eine wesentliche Singularität.
Warum rechnest du nicht einfach Real- und Imaginärteil aus, z.B.
[mm] e^{ iz} = e^{ i(x+iy)} = e^{- y} e^{ ix} [/mm]
und daher
[mm] |e^{iz}| = e^{-y} [/mm] .
Also ist [mm] $e^{iz}$ [/mm] in der unteren Halbebene, [mm] $e^{-iz}$ [/mm] in der oberen Halbebene unbeschränkt.
Oder auch:
[mm] \cos z = \cos (x+iy) = \cos x \cos (iy) - \sin x \sin(iy) = \cos x \cosh y + i\sinx \sinh y [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Zur Ergänzung:
Sei f eine ganze Funktion und
$g(z):= f(1/z)$ für z [mm] \ne [/mm] 0.
Dann hat f die Potenzreihenentwicklung $f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] für z [mm] \in \IC.
[/mm]
Damit hat g die Laurententwicklung um 0:
$g(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*\bruch{1}{z^n}$ [/mm]
Jetzt sieht man:
g hat in 0 eine wesentliche Singularität [mm] \gdw [/mm] f ist kein Polynom
FRED
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