cos²x < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Sa 14.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | [mm] \integral_{a}^{b}{cos²x dx}
[/mm]
stammfkt? |
[mm] \integral_{a}^{b}{cos²x dx}=\integral_{a}^{b}{cosx*cosx dx}=cosx*sinx [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{sinx * -sinx dx}= [/mm] cosx*sinx + [mm] \integral_{a}^{b}{sin²x dx} [/mm]
soweit bin ich
ich weis auch das ich sin²x durch 1-cos²x ausdrücken kann also [mm] \integral_{a}^{b}{1-cos²x dx} [/mm] aber wie gehts dann weiter an der stelle häng ich....
sorry ist sicher trivial aber habe das noch nie vorher gemacht und schreiben in 1 woche klausur und haben nur noch kurz mathe vorher wo er den stoff durchnehmen will weils prüfungsrelevant ist :(
danke!
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> [mm]\integral_{a}^{b}{cos²x dx}[/mm]
>
> stammfkt?
> [mm]\integral_{a}^{b}{cos²x dx}=\integral_{a}^{b}{cosx*cosx dx}=cosx*sinx[/mm]
> - [mm]\integral_{a}^{b}{sinx * -sinx dx}=[/mm] cosx*sinx +
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin²x dx}[/mm]
>
> soweit bin ich
>
> ich weis auch das ich sin²x durch 1-cos²x ausdrücken kann
> also [mm]\integral_{a}^{b}{1-cos²x dx}[/mm] aber wie gehts dann
> weiter an der stelle häng ich....
Hallo,
Du bist doch schon prima vorwärts gekommen.
Nun folgt ein kleiner Trick, den es sich lohnt zu merken, denn man kann ihn gerade beim Integrieren von trig. Funktionen ab und zu gebrauchen.
Du hast
[mm] \integral_{a}^{b}{cos²x dx} [/mm] =cosx*sinx + [mm] \integral_{a}^{b}{sin²x dx} [/mm] =cosx*sinx + [mm] \integral_{a}^{b}(1-cos²x [/mm] )dx =cosx*sinx + [mm] \integral_{a}^{b}1dx -\integral_{a}^{b}cos²x [/mm] dx
Nun bringst Du den letzten Summanden auf die andere Seite und erhältst
[mm] 2\integral_{a}^{b}{cos²x dx}=cosx*sinx [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}1dx,
[/mm]
womit Du fast fertig bist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Sa 14.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
wäre dann [mm] \bruch{sinx*cosx+x}{2}
[/mm]
müsste so stimmen oder?? kann man das also generell so machen?? zumindest bei den trigfkt.
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> wäre dann [mm]\bruch{sinx*cosx+x}{2}[/mm]
>
Hallo,
das sieht recht gut aus.
Wenn Du sicher sein möchtest, bilde doch die Ableitung. Es müßte cos^2x herauskommen.
(Dein Integral stimmt. Es ist aber wichtig, daß man das selbst entscheiden kann.)
> müsste so stimmen oder??
Die Stammfunktion stimmt.
Du mußt jetzt noch die Grenzen einsetzen, denn Du solltest ja ein bestimmtes Integral berechnen.
> kann man das also generell so
> machen?? zumindest bei den trigfkt.
"Generell so machen" würde ich nicht sagen. Aber wenn feststellt, daß auf der rechten Seite dasselbe Integral mit umgekehrtem Vorzeichen wie das auszurechnende vorkommt, sollte einem dieser Trick einfallen.
Bei trig. Funktionen hat man das des öfteren, aber auch sonst ist's hin und wieder nützlich. Du solltest diesen Trick im Werkzeugkoffer haben.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Björn!
Auch hier kann man alternativ folgendes Additionstheorem anwenden und umformen:
[mm] $\cos(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos^2(x)-1$ $\gdw$ $\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos(2x)+1}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\cos(2x)+\bruch{1}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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