cos(x),sin(x) in Q < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Do 22.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | K quadratic number field. Decide whether, for general [mm] \varepsilon \in [/mm] K, the condition [mm] N(\varepsilon) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1 implies that [mm] \varepsilon [/mm] is a unit in the ring of integers [mm] \partial_{K} [/mm] |
Hallo leute
Ich versuche aus Intuition ein Gegenbeispiel für diese Aussage zu finden... Ich habe mir überlegt, sollte dies tatsächlich wiederlegt werden können, könnte ich mit K = [mm] \IQ(i) [/mm] arbeiten, und zwar:
Falls ich ein [mm] \varepsilon [/mm] = a + ib [mm] \in \IC [/mm] finde mit [mm] |\varepsilon| [/mm] = 1, [mm] \varepsilon \neq \{1,-1,i,-i\}, [/mm] so habe ich ein Gegenbeispiel gefunden.
Jetzt finde ich weder mit a + ib [mm] \Rightarrow [/mm] a,b [mm] \in \IQ [/mm] noch mit cos(x)+i sin(x) [mm] \Rightarrow [/mm] sin(x),cos(x) [mm] \in \IQ [/mm] etwas brauchbares.. gibt es so eine komplexe Zahl überhaüpt, oder sollte ich doch versuchen die Aussage zu beweisen?
Danke für eure Hilfe :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Do 22.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ganz hab ich das problem nicht kapiert, aber 3/5 +i*4/5 tun doch, was du willst?
ausserdem jedes pythagoräische Triipe [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] liefert doch soo was mit a/c und b/c
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Do 22.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo leduart
> Hallo
> ganz hab ich das problem nicht kapiert, aber 3/5 +i*4/5
> tun doch, was du willst?
> ausserdem jedes pythagoräische Triipe [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] liefert
> doch soo was mit a/c und b/c
Aber natürlich! Pythagoräische Tripel sind hier eine grosse Hilfe, vielen Dank dir dafür! :)
> Gruss leduart
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Do 22.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> > Hallo
> > ganz hab ich das problem nicht kapiert, aber 3/5 +i*4/5
> > tun doch, was du willst?
> > ausserdem jedes pythagoräische Triipe [mm]a^2+b^2=c^2[/mm]
> liefert
> > doch soo was mit a/c und b/c
>
> Aber natürlich! Pythagoräische Tripel sind hier eine
> grosse Hilfe, vielen Dank dir dafür! :)
Allgemein kann man hier mit ![[]](/images/popup.gif) Hilberts Theorem 90 weiterkommen: da [mm] $\IQ(i) [/mm] / [mm] \IQ$ [/mm] eine zyklische Galoiserweiterung ist, und [mm] $\sigma(x) [/mm] = [mm] \overline{x}$ [/mm] die Galoisgruppe erzeugt, kann jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ aus $K = [mm] \IQ(i)$ [/mm] von Norm 1 geschrieben werden als [mm] $\frac{x}{\sigma(x)}$, [/mm] fuer $x [mm] \in [/mm] K$. (Und jedes solche Element ist automatisch von Norm 1.)
Ohne Einschraenkung kannst du auch $x [mm] \in \mathfrak{o}_K$ [/mm] annehmen (die Nenner kuerzen sich ja weg).
Das bringt dir hier zwar nicht mehr viel, aber wenn du jetzt z.B. die gleiche Aufgabe fuer [mm] $\IQ(\sqrt{-5})$ [/mm] haben solltest oder [mm] $\IQ(\sqrt{123})$...
[/mm]
LG Felix
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