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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mo 23.08.2004 | | Autor: | ralfk |
Hallo,
ich habe eine konkrete frage zu einem Problem mit dem cosinus.
Wenn ich mir den Graphen der Funktion [mm] cos(\sqrt{\frac{24}{x}} \*2\pi) \* cos(\sqrt{24x} \*2\pi) [/mm] anzeigen lasse ( 0.1 >= x <= 1), so sehe ich, dass die Funktion bei 0.1666, 0.375 und 0.666 den Wert 1 annimmt.
Frage:
Wie kann ich die Werte (0.1666, 0.375, 0.666) berechnen? (Genauer: wie kann ich die Werte berechnen, an denen die Funktion den Wert 1 annimmt?).
Ich habe es schon mal irgendwie mit der Umkehrfunktion versucht, jedoch klappt dies nicht (da der arccos nur von 0 - pi definiert ist, komme ich hier nicht weiter).
Gruss
Ralf
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo Ralf,
gehe das Problem ganz systematisch an. Du hast ein Produkt der Form a * b vorliegen und moechtest herausfinden, wann dieses Eins werden kann. Es gibt zwei verschiedene Moeglichkeiten. Entweder sind beide Faktoren betragsmaessig Eins, oder einer der Faktoren ist betragsmaessig kleiner Eins, waehrend der andere betragsmaessig groesser Eins ist. Welche dieser Moeglichkeiten ist hier interessant?
Wenn du weitere Hilfe brauchst, melde dich bitte wieder.
Viele Gruesse,
Simon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mo 23.08.2004 | | Autor: | ralfk |
Hallo runningman,
danke.
Soweit ist mir das auch alles klar. Aber in dem konkreten Fall hätte ich gerne eine Formel, welche mir das Ergebnis 0.1666, 0.375 und 0.666 zurückgibt.
Gruss
Ralf
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Hallo Ralf,
bist du dir sicher, dass dir die Sache klar ist? Gut, machen wir weiter: Da im vorliegenden Fall beide Faktoren betragsmaessig kleiner oder gleich Eins sind, kann nur der Fall eintreten, dass beide gleichzeitig betragsmaessig gleich Eins sind, d.h. es muss
[mm] \left| cos(\wurzel \bruch{24}{x}\*2\pi) \right| = \left| \cos(\wurzel )(24x) \*2\pi) \right| = 1[/mm]
gelten. Der Cosinus wird jeweils bei den ganzzahligen Vielfachen von [mm]\pi[/mm] betragsmaessig gleich Eins. Gesucht sind nun also alle Zahlen x, fuer die sowohl [mm]2\wurzel \bruch{24}{x}[/mm], als auch [mm]2\wurzel 24x [/mm] eine (wenn wir uns auf reellwertige x beschraenken) natuerliche Zahl ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sowohl [mm] \bruch{4\*24}{x}[/mm], als auch [mm]4\*24x[/mm] eine Quadratzahl ist (warum?). Wegen den Betraegen musst du ausserdem noch die Paritaet der beiden Zahlen beruecksichtigen.
Den Rest ueberlasse ich dir (beachte, dass alle deine angegebenen Ergebnisse sich auch als Bruch darstellen lassen. Sind das uebrigens alle?).
Viele Gruesse,
Simon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Di 24.08.2004 | | Autor: | ralfk |
Hallo Simon,
danke für deine Ausführungen.
Deiner Argumentation kann ich soweit folgen. Nur habe ich jetzt die beiden Formeln [mm] \bruch{4*24}{x} [/mm] und [mm] 4*24x [/mm]. Wie ich davon aber auf die Werte 1/6, 3/8 und 2/3 kommen soll, bleibt mir noch ein Rätsel.
Ausserdem, wenn ich die Zahl 24 durch eine andere Zahl ersetze, so variiert die Anzahl der Stellen (3, 4, 5, ... Stellen), an denen die Funktion den Wert 1 ergibt. Es wäre schon, wenn Du dir das nochmals anschauen könntest.
Gruss
Ralf
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Hallo Ralf,
das ist jetzt nicht boese gemeint, aber versuche doch einmal selbst, die noch fehlenden Argumente der Loesung auszufuehren. Ich gebe nicht gerne komplette Loesungswege an, da ich der Meinung bin, dass sie dem Lernenden (d.h. in diesem falle dir) nichts nuetzen.
Ich bin als Student selbst noch in der Position des Lernenden, gebe aber auch Tutorien bzw. Uebungsgruppen und meine Erfahrung gibt mir bis jetzt recht.
Also, das noch ausstehende Problem besteht darin, eine Zahl x zu finden, sodass die beiden Ausdruecke [mm]\bruch{4*24}{x}[/mm] und [mm]4*24x [/mm] eine Quadratzahl ergeben.
Es ist klar (behaupte ich), dass man nur im Bereich der positiven rationalen Zahlen nach einer Loesung zu suchen braucht. Ein letzter Hinweis: Primfaktorzerlegung!
Viele Gruesse,
Simon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Di 24.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ralf!
Ich gebe noch mal einen Tipp:
> danke für deine Ausführungen.
> Deiner Argumentation kann ich soweit folgen. Nur habe ich
> jetzt die beiden Formeln [mm]\bruch{4*24}{x}[/mm] und [mm]4*24x [/mm].
Beides sollen Quadratzahlen sein.
Nun ist:
$4 [mm] \cdot [/mm] 24 = [mm] 2^5 \cdot [/mm] 3$.
Gesucht sind also Primzahlen [mm] $p_1,\ldots,p_n$ [/mm] mit zugehörigen (ganzzahligen) Vielfachheiten [mm] $\nu_1,\ldots,\nu_n$, [/mm] so dass mit [mm] $x=p_1^{\nu_1}\cdot \ldots \cdot p_n^{\nu_n}$ [/mm] folgendes gilt:
[mm] $2^5 \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot p_1^{-\nu_1} \cdot \ldots \cdot p_n^{-\nu_n}$
[/mm]
ist eine ganzzahlige Quadratzahl, und ebenso:
[mm] $2^5 \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot p_1^{\nu_1} \cdot \ldots \cdot p_n^{\nu_n}$.
[/mm]
Klar ist, dass für die Primzahlen [mm] $p_1,\dlots,p_n$ [/mm] nur $2$ und $3$ in Frage kommen (da sonst eine der beiden Zahlen nicht ganzzahlig wären).
Die Frage reduziert sich also darauf:
Für welche ganzzahligen [mm] $\nu_1$ [/mm] und [mm] $\nu_2$ [/mm] sind
[mm] $2^{5-\nu_1} \cdot 3^{1-\nu_2}$
[/mm]
und
[mm] $2^{5+\nu_1} \cdot 3^{1+\nu_2}$
[/mm]
ganzzahlige Quadratzahlen?
Dafür kommen a priori nur
[mm] $\nu_1 \in \{-5,-3,-1,1,3,5\}$
[/mm]
und
[mm] $\nu_2 \in \{-1,1\}$
[/mm]
in Frage. Jetzt teste doch mal: Für welche Wahlen von [mm] $\nu_1$ [/mm] und [mm] $\nu_2$ [/mm] liegt dann [mm] $x=2^{\nu_1} \cdot 3^{\nu_2}$ [/mm] in deinem Wertebereich?
Jetzt bekommst du es vielleicht hin. Wenn nicht, dann frage bitte unbedingt nach.
Sorry, Simon, dass ich so viel verraten habe. Wenn man so alt ist wie ich, ist man nicht mehr so idealistisch wie als Student, sondern fühlt eher mit den frustrierten Matheleidenden mit. 
Liebe Grüße
Stefan
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