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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Di 06.07.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Bin gerade bei der Wiederholung für die Klausur in Ana2 und rechne ein paar alte Aufgaben von alten Übungsblättern und von anderen Jahrgängen. Bei folgender Aufgabe hab ich ein Problem:
Die Aufgabe:
Bestimmen Sie den Abstand der Funktion [mm]f(x)=x^2 [/mm] und [mm] g(x)= \left|x \right| [/mm] einmal in [mm](C^0 ([-1,1]),d^{sup}) [/mm] und einmal in [mm](C^0 ([-1,1]),d^1) [/mm]. Dabei ist [mm]d^1 (f,g) = \int_{a}^{b}\left| f(x) - g(x) \right|\, dx [/mm] für [mm]C^0 ([a,b]) [/mm]
Für die Supremumsmetrik hab ich
[mm] d^{sup}(f,g)=0,5[/mm] ausgerechnet und dabei Fallunterscheidung für [mm]x < 0[/mm] und [mm]x \ge 0[/mm].
Bei der [mm]d^1[/mm]-Metrik komm ich aber auf 0, was nich sein sollte, weil dann wäre f und g doch gleich, oder?
Gruß, Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Di 06.07.2004 | | Autor: | Micha |
Hier vielleicht noch mein bisheriger Rechenweg:
[mm]d^1 (f,g) = \int_{-1}^{1}\left| x^2 - \left|x\rigth| \, \right|\, dx = \left|\int_{-1}^{1} x^2 - \left|x\rigth| \, dx \right| = \left|\int_{-1}^{0} x^2 + x \, dx + \int_{0}^{1} x^2 - x \, dx \right|[/mm]
[mm]= \left| {[\bruch{1}{3} x^3 + \bruch{1}{2} x^2]}^{0}_{-1} + {[\bruch{1}{3} x^3 - \bruch{1}{2} x^2]}^{1}_{0} \right| = \bruch{1}{3} -\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3} = 0 [/mm] oder [mm]\bruch{1}{6}[/mm] ???
grad seh ich, dass hier was nicht stimmt..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Di 06.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
> Bin gerade bei der Wiederholung für die Klausur in Ana2 und
> rechne ein paar alte Aufgaben von alten Übungsblättern und
> von anderen Jahrgängen.
Sehr löblich. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei folgender Aufgabe hab ich ein
> Problem:
>
> Die Aufgabe:
> Bestimmen Sie den Abstand der Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] und [mm]g(x)= \left|x \right|[/mm]
> einmal in [mm](C^0 ([-1,1]),d^{sup})[/mm] und einmal in [mm](C^0 ([-1,1]),d^1) [/mm].
> Dabei ist [mm]d^1 (f,g) = \int_{a}^{b}\left| f(x) - g(x) \right|\, dx[/mm]
> für [mm]C^0 ([a,b])[/mm]
>
> Für die Supremumsmetrik hab ich
> [mm]d^{sup}(f,g)=0,5[/mm] ausgerechnet und dabei Fallunterscheidung
> für [mm]x < 0[/mm] und [mm]x \ge 0[/mm].
> Bei der [mm]d^1[/mm]-Metrik komm ich aber auf 0, was nich sein
> sollte, weil dann wäre f und g doch gleich, oder?
Das wäre dann so, ja. Ich rechne es mal nach:
[mm] $d^1(f,g)$
[/mm]
$= [mm] \int_{-1}^1 \vert [/mm] f(x) - g(x) [mm] \vert\, [/mm] dx$
$= [mm] \int_{-1}^1 \vert\, x^2 [/mm] - |x| [mm] \, \vert\, [/mm] dx$
$= [mm] \int_{-1}^1 [/mm] (|x| - [mm] x^2)\, [/mm] dx$
(da [mm] $\green{|x| \ge x^2}$ [/mm] für alle [mm] $\green{x \in [-1,1]}$)
[/mm]
$= [mm] \int_{-1}^0 [/mm] (-x - [mm] x^2)\, [/mm] dx + [mm] \int_0^1 [/mm] (x - [mm] x^2)\, [/mm] dx$
$= [mm] \left[ - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^0 [/mm] + [mm] \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{3} [/mm] + [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{3}$
[/mm]
(hier hätte man auch direkt über die Achsensymmetrie argumentieren können, sehe ich gerade, sorry, aber so geht es ja auch)
$= 1 - [mm] \frac{2}{3}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{3}$.
[/mm]
Alles klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Di 06.07.2004 | | Autor: | Micha |
Wenn du meinen Rechenweg anguckst, hab ich es ja dann vom Prinzip verstanden, nur hab ich da wohl die Beträge durcheinander gehauen, naja wird schon danke erstmal.
Noch zwei Nachfragen:
1) Wenn ich bei einer Metrik den Abstand 0 erhalte, heißt das doch, dass die Funktionen gleich sind, oder?
2) Was bedeutet das nun wenn die Abstände unterschiedlich sind? Bei Metriken auf einem Nicht-Unendlichen Raum sind die doch äquivalent, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 06.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Warum hast du meine Antwort denn als fehlerhaft markiert??? Darf ich die jetzt wieder als richtig markieren, denn ich sehe keinen Fehler?
> Wenn du meinen Rechenweg anguckst, hab ich es ja dann vom
> Prinzip verstanden, nur hab ich da wohl die Beträge
> durcheinander gehauen, naja wird schon danke erstmal.
Das stimmt. Du hattest es fast richtig.
> Noch zwei Nachfragen:
> 1) Wenn ich bei einer Metrik den Abstand 0 erhalte, heißt
> das doch, dass die Funktionen gleich sind, oder?
Wenn es sich -wie in diesem Fall- ausschließlich um stetige Funktionen handelt, dann ja. Wenn man sich auf Äquivalenzklassen (zwei Funktionen sind äquivalent, wenn sie bis auf eine Lebesgue-Nullmenge überall übereinstimmen) zurückzieht, dann sind sie eben in diesem Sinne "gleich", d.h. Lebesgue-fast überall gleich.
> 2) Was bedeutet das nun wenn die Abstände unterschiedlich
> sind? Bei Metriken auf einem Nicht-Unendlichen Raum sind
> die doch äquivalent, oder?
Ja, die beiden Metriken sind äquivalent. Dennoch können einzelne Abstände unterschiedlich sein. Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun.
Die Äquivalenz heißt ja nur: Es gibt Schranken $C>0$ und $c>0$ mit
$c [mm] \cdot \tilde{d}(f,g) \le [/mm] d(f,g) [mm] \le [/mm] C [mm] \cdot \tilde{d}(f,g)$
[/mm]
für alle $f,g$ aus dem metrischen Raum.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Di 06.07.2004 | | Autor: | Micha |
> Hallo!
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> Warum hast du meine Antwort denn als fehlerhaft markiert???
> Darf ich die jetzt wieder als richtig markieren, denn ich
> sehe keinen Fehler?
>
Ich hab einfach auf den falschen Button gedrückt, kannst als richtig markieren, danke.
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