darstellende matrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | seien v1(1,2,1), v2 (-1,1,-1), v3(1,0,-1) basis des [mm] \IR^{3} [/mm] und
A= [mm] \pmat{ -1 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & -1 } \in \IR^{3x3}
[/mm]
bestimmen sie die darstellende matrix von [mm] f_{A} [/mm] bzgl. v1, v2, v3 |
muss ich hier einfach die drei vektoren als matrix schreiben und mit A multiplizieren? aber was ist das [mm] f_{A}? [/mm] das verwirt mich etwas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
> seien v1(1,2,1), v2 (-1,1,-1), v3(1,0,-1) basis des [mm]\IR^{3}[/mm]
> und
> A= [mm]\pmat{ -1 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & -1 } \in \IR^{3x3}[/mm]
>
> bestimmen sie die darstellende matrix von [mm]f_{A}[/mm] bzgl. v1,
> v2, v3
> muss ich hier einfach die drei vektoren als matrix
> schreiben und mit A multiplizieren? aber was ist das [mm]f_{A}?[/mm]
> das verwirt mich etwas
Hallo kioto,
[mm] f_A [/mm] ist die lineare Abbildung [mm] f_A: \IR^3\to\IR^3, v\mapsto [/mm] Av. Was anderes macht mit den Voraussetzungen auch keinen Sinn.
Ist dir klar, was eine darstellende Matrix [mm] M_B^A(L) [/mm] bezüglich einer linearen Abbildung L: [mm] V\to [/mm] W, einer Basis A von V sowie einer Basis B von W ist? Sie überführt den Koordinatenvektor [mm] \underline{\lambda} [/mm] bzgl der Basis A von V in den Koordinatenvektor [mm] \underline{\mu} [/mm] des Bildes [mm] L(\underline{\lambda}) [/mm] bezüglich der Basis B:
[mm] \underline{\mu}=M_A^B(L)\cdot\underline{\lambda}
[/mm]
In deinem Fall gilt [mm] A=B=\{v_1, v_2, v_3\}.
[/mm]
Du berechnest nun (das ist das, was du bestimmt in der VL hattest):
[mm] f_A(v_1)=\ldots=\sum_{i=1}^3 a_i v_i=\underline{\mu_v_1}
[/mm]
[mm] f_A(v_2)=\ldots=\sum_{i=1}^3 a_i v_i=\underline{\mu_v_2}
[/mm]
[mm] f_A(v_3)=\ldots=\sum_{i=1}^3 a_i v_i=\underline{\mu_v_3}
[/mm]
Dann setzt sich die darstellene Matrix [mm] M_B^A(f_A) [/mm] aus den Spaltenvektoren [mm] \underline{\mu_v_1}, \underline{\mu_v_2}, \underline{\mu_v_3} [/mm] zusammen, wobei diese Vektoren gerade die Koordinatenvektoren der Bilder der [mm] v_i [/mm] unter [mm] f_A [/mm] bezüglich der Basis [mm] A=B=\{v_1,v_2,v_3\} [/mm] sind.
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo pyw,
ich komm gerade nicht weiter.......
> > seien v1(1,2,1), v2 (-1,1,-1), v3(1,0,-1) basis des [mm]\IR^{3}[/mm]
> > und
> > A= [mm]\pmat{ -1 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & -1 } \in \IR^{3x3}[/mm]
>
> >
> > bestimmen sie die darstellende matrix von [mm]f_{A}[/mm] bzgl. v1,
> > v2, v3
> > muss ich hier einfach die drei vektoren als matrix
> > schreiben und mit A multiplizieren? aber was ist das [mm]f_{A}?[/mm]
> > das verwirt mich etwas
>
> Hallo kioto,
>
> [mm]f_A[/mm] ist die lineare Abbildung [mm]f_A: \IR^3\to\IR^3, v\mapsto[/mm]
> Av. Was anderes macht mit den Voraussetzungen auch keinen
> Sinn.
> Ist dir klar, was eine darstellende Matrix [mm]M_B^A(L)[/mm]
> bezüglich einer linearen Abbildung L: [mm]V\to[/mm] W, einer Basis
> A von V sowie einer Basis B von W ist? Sie überführt den
> Koordinatenvektor [mm]\underline{\lambda}[/mm] bzgl der Basis A von
> V in den Koordinatenvektor [mm]\underline{\mu}[/mm] des Bildes
> [mm]L(\underline{\lambda})[/mm] bezüglich der Basis B:
> [mm]\underline{\mu}=M_A^B(L)\cdot\underline{\lambda}[/mm]
>
> In deinem Fall gilt [mm]A=B=\{v_1, v_2, v_3\}.[/mm]
> Du berechnest
> nun (das ist das, was du bestimmt in der VL hattest):
> [mm]f_A(v_1)=\ldots=\sum_{i=1}^3 a_i v_i=\underline{\mu_v_1}[/mm]
>
> [mm]f_A(v_2)=\ldots=\sum_{i=1}^3 a_i v_i=\underline{\mu_v_2}[/mm]
>
> [mm]f_A(v_3)=\ldots=\sum_{i=1}^3 a_i v_i=\underline{\mu_v_3}[/mm]
meinst
[mm] f_A(v_1) [/mm] = [mm] x1\vektor{1 \\ 2 \\ 1 }+x2\vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] + x3 [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] aber was ist hier [mm] f_A(v_1)? \vektor{-1 \\ 3 \\ 1} [/mm] vielleicht?
ich geb zu, ich kann noch nicht so gut mit summenformel oder produktformel hantieren.....
> Dann setzt sich die darstellene Matrix [mm]M_B^A(f_A)[/mm] aus den
> Spaltenvektoren [mm]\underline{\mu_v_1}, \underline{\mu_v_2}, \underline{\mu_v_3}[/mm]
> zusammen, wobei diese Vektoren gerade die
> Koordinatenvektoren der Bilder der [mm]v_i[/mm] unter [mm]f_A[/mm] bezüglich
> der Basis [mm]A=B=\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] sind.
>
> Gruß, pyw
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
> also das heißt ja [mm]f_A(v_1)=A\cdot v_1,[/mm] dann [mm]f_A(v_1)= \pmat{ -1 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & -1 }[/mm] x [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm] ?
> dann mache ich das was ich vorher gemacht hab?
ja, nun rechne es doch einfach einmal.
Noch ein Tipp: Verwende nicht das Zeichen 'x' bzw. [mm] '\times' [/mm] für die Matrixmultiplikation - es gibt später nämlich noch das Kreuzprodukt zweier Vektoren, wofür zumeist genau dieses Symbol verwendet wird. Verwechslungsgefahr! 
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo pyw, ich hoffe ich hab nicht vertippt
[mm] \pmat{ -6 & 3 & 2 \\ 6 & 0 & 4 \\ -6 & -3 & 2 }
[/mm]
kann ich jetzt mit x1 x2 und x3 weitermachen?
> > also das heißt ja [mm]f_A(v_1)=A\cdot v_1,[/mm] dann [mm]f_A(v_1)= \pmat{ -1 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & -1 }[/mm]
> x [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm] ?
> > dann mache ich das was ich vorher gemacht hab?
> ja, nun rechne es doch einfach einmal.
> Noch ein Tipp: Verwende nicht das Zeichen 'x' bzw.
> [mm]'\times'[/mm] für die Matrixmultiplikation - es gibt später
> nämlich noch das Kreuzprodukt zweier Vektoren, wofür
> zumeist genau dieses Symbol verwendet wird.
> Verwechslungsgefahr!
ich werds beherzigen :)
> Gruß, pyw
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
> hallo pyw, ich hoffe ich hab nicht vertippt
>
> [mm]\pmat{ -6 & 3 & 2 \\ 6 & 0 & 4 \\ -6 & -3 & 2 }[/mm]
> kann ich
> jetzt mit x1 x2 und x3 weitermachen?
Eine 3x3 Matrix kann ganz bestimmt nicht das Bild eines der [mm] Basisvektoren\in \{v_1, v_2, v_3\} [/mm] sein.
Mir ist absolut nicht klar, was du gerade gemacht hast. jetzt berechne doch mal ernsthaft alle Bilder der Basisvektoren! Das müssen logischerweise auch Vektoren aus dem [mm] \IR^3 [/mm] sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
aber du hast doch gesagt, ich muss A mal v1 nehmen, da kommt doch [mm] \vektor{-6 \\ 6 \\ -6} [/mm] raus
> > hallo pyw, ich hoffe ich hab nicht vertippt
> >
[mm] \pmat{ -6 & 3 & 2 \\ 6 & 0 & 4 \\ -6 & -3 & 2 }[/mm]
[/mm]
> > kann
> ich
> > jetzt mit x1 x2 und x3 weitermachen?
>
> Eine 3x3 Matrix kann ganz bestimmt nicht das Bild eines der
> [mm]Basisvektoren\in \{v_1, v_2, v_3\}[/mm] sein.
> Mir ist absolut nicht klar, was du gerade gemacht hast.
> jetzt berechne doch mal ernsthaft alle Bilder der
> Basisvektoren! Das müssen logischerweise auch Vektoren aus
> dem [mm]\IR^3[/mm] sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
> aber du hast doch gesagt, ich muss A mal v1 nehmen, da
> kommt doch [mm]\vektor{-6 \\ 6 \\ -6}[/mm] raus
Richtig, jetzt verstehe ich wenigstens, was du gemacht hast. Es wäre hilfreicher, wenn du deine Schritte beim Aufschreiben erläutern würdest. Ich glaube, das haben dir auch andere Forenmitglieder bereits einmal gesagt.
Du hast die drei Bilder der Basisvektoren gleich als Spaltenvektoren genommen. Du sollst aber die Bilder erst als Linearkombinationen der Basisvektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] darstellen - und dann jeweils den so ermittelten Koordinatenvektor als Spaltenvektor der Matrix verwenden.
Hattet ihr diese Vorgehensweise in der VL?
Damit du das begreifst solltest du die Theorie vielleicht noch einmal überarbeiten 
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
> > aber du hast doch gesagt, ich muss A mal v1 nehmen, da
> > kommt doch [mm]\vektor{-6 \\ 6 \\ -6}[/mm] raus
> Richtig, jetzt verstehe ich wenigstens, was du gemacht
> hast. Es wäre hilfreicher, wenn du deine Schritte beim
> Aufschreiben erläutern würdest.
ich werds in zukunft versuchen
Ich glaube, das haben dir
> auch andere Forenmitglieder bereits einmal gesagt.
> Du hast die drei Bilder der Basisvektoren gleich als
> Spaltenvektoren genommen. Du sollst aber die Bilder erst
> als Linearkombinationen der Basisvektoren [mm]v_1, v_2, v_3[/mm]
> darstellen - und dann jeweils den so ermittelten
> Koordinatenvektor als Spaltenvektor der Matrix verwenden.
meinst du so?
[mm] \vektor{-6 \\ 6 \\ -6} [/mm] mal [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -3} [/mm] mal [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 2} [/mm] mal [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] ?
> Hattet ihr diese Vorgehensweise in der VL?
> Damit du das begreifst solltest du die Theorie vielleicht
> noch einmal überarbeiten
da hatten wir aber ganz andere aufgaben zu dem thema.......
>
> Gruß, pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
ich glaub ich habs verstanden, ich muss jetzt die v vektoren mit x1 x2 x3 usw. multiplizieren und die xs sind dann meine lösungen für die matrix, stimmt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
> ich glaub ich habs verstanden, ich muss jetzt die v
> vektoren mit x1 x2 x3 usw. multiplizieren und die xs sind
> dann meine lösungen für die matrix, stimmt?
Wenn du mit deinen [mm] x_i [/mm] die [mm] a_i [/mm] meinst (siehe Antwort zu deiner letzten Frage), dann so ähnlich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
> > Du hast die drei Bilder der Basisvektoren gleich als
> > Spaltenvektoren genommen. Du sollst aber die Bilder erst
> > als Linearkombinationen der Basisvektoren [mm]v_1, v_2, v_3[/mm]
> > darstellen - und dann jeweils den so ermittelten
> > Koordinatenvektor als Spaltenvektor der Matrix verwenden.
> meinst du so?
>
> [mm]\vektor{-6 \\ 6 \\ -6}[/mm] mal [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -3}[/mm]
> mal [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}[/mm] + [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ 2}[/mm] mal
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] ?
Das was du schreibst, macht keinen Sinn! Du sollst keine Linearkombination von irgendwelchen Bildern der [mm] v_i [/mm] berechnen.
Nochmal zurück zu meinem 1. Post:
> $ [mm] f_A(v_1)=(-6,6,-6)^T=\sum_{i=1}^3 a_i v_i=\underline{\mu_v_1} [/mm] $
> $ [mm] f_A(v_2)=(3,0,-3)^T=\sum_{i=1}^3 a_i v_i=\underline{\mu_v_2} [/mm] $
> $ [mm] f_A(v_3)=(2,4,2)^T=\sum_{i=1}^3 a_i v_i=\underline{\mu_v_3} [/mm] $
Berechne die [mm] a_i!
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
ich hab dann [mm] \vektor{-6 \\ 6 \\ -6}=x1\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+x2\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}+x3\vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
-6=x1-x2+x3
6=2x1+x2
-6=x1-x2-x3
aus II folgt
6-2x1=2
in III eingesetzt
-6=x1-6+2x1-x3
dann hab ich 0=0 kann das sein???
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> ich hab dann [mm]\vektor{-6 \\
6 \\
-6}=x1\vektor{1 \\
2 \\
1}+x2\vektor{-1 \\
1 \\
-1}+x3\vektor{1 \\
0 \\
-1}[/mm]
>
> -6=x1-x2+x3
> 6=2x1+x2
> -6=x1-x2-x3
>
> aus II folgt
> 6-2x1=2
> in III eingesetzt
> -6=x1-6+2x1-x3
> dann hab ich 0=0 kann das sein???
Hallo,
ich sehe nicht, wo Du 0=0 hast.
Ob es sein kann, hängt davon ab, wo es herkommt.
Führe das genauer aus, wir wollen korrigieren, nicht raten oder hellsehen.
Wäre es vielleicht möglich, Indizes zu setzen bei Deinen Variablen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
ich hatte ja
-6=x1-6+2x1-x3
dann 0= 3x1-x3
x3=3x1
in I eingesetzt habe ich dann -1=x1
aber warum klappt es nicht wenn ich es in III einsetze? da kam ja 0 raus
x1 in II eingesetzt:
6 = 2(-1)+2x2
8=x2
x3= 3(-1)=-3
habe ich so meine erste spalte?
also [mm] \vektor{-1 \\ 8 \\ -3}
[/mm]
> > ich hab dann [mm]\vektor{-6 \\
6 \\
-6}=x1\vektor{1 \\
2 \\
1}+x2\vektor{-1 \\
1 \\
-1}+x3\vektor{1 \\
0 \\
-1}[/mm]
>
> >
> > -6=x1-x2+x3
> > 6=2x1+x2
> > -6=x1-x2-x3
> >
> > aus II folgt
> > 6-2x1=2
> > in III eingesetzt
> > -6=x1-6+2x1-x3
> > dann hab ich 0=0 kann das sein???
>
> Hallo,
>
> ich sehe nicht, wo Du 0=0 hast.
> Ob es sein kann, hängt davon ab, wo es herkommt.
> Führe das genauer aus, wir wollen korrigieren, nicht
> raten oder hellsehen.
> Wäre es vielleicht möglich, Indizes zu setzen bei Deinen
> Variablen?
>
> Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Di 01.02.2011 | | Autor: | pyw |
> ich hatte ja
> -6=x1-6+2x1-x3
> dann 0= 3x1-x3
> x3=3x1
>
> in I eingesetzt habe ich dann -1=x1
> aber warum klappt es nicht wenn ich es in III einsetze? da
> kam ja 0 raus
>
> x1 in II eingesetzt:
> 6 = 2(-1)+2x2
> 8=x2
>
> x3= 3(-1)=-3
>
> habe ich so meine erste spalte?
> also [mm]\vektor{-1 \\ 8 \\ -3}[/mm]
Nein, das würdest du aber auch ganz alleine herausfinden, wenn du einmal die Probe gemacht hättest. Schon die erste Komponente kann bei dir nicht stimmen: [mm] (-1)1+8(-1)-3(1)=-12\neq-6
[/mm]
Gruß, pyw
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
danke pyw! hab alles noch mal nachgerechnet und hab das raus
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 6 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
und überprüft und sie stimmen! und das durch einen lösungsweg den ich nachvollziehen kann!
die lösung von tutoren sieht bei der ausgabe anders aus, die haben mit einheitsvektoren gerechnet statt mit den basisvektoren, das habe ich nicht verstanden
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