deBouvelle und Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mo 15.03.2010 | | Autor: | iks |
| Aufgabe | Der französische Mathematiker deBouville "bewies", dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] immer eine der Zahlen $6n-1$ oder $6n+1$ eine Primzahl ist.
(1) Beweisen Sie, dass deBouville sich geirrt hat
(2) Beweisen Sie, das er sich sogar unendlich oft geirrt hat
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Hallo liebe Matheräumler!
Habe Schwierigkeiten obige Aufgabe zu lösen. Naja eigentlich nur mit (2), da sich (1) durch ein Gegenbeispiel erschlagen läßt.
Meine bisherigen Versuche gingen in die Richtung:
1a) Konstruktion einer zusammengesetzten Zahl [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $k=(6m+1)^2$ [/mm] bzw [mm] $k=(6m-1)^2$ [/mm] was bedeutete das $k$ eine Zahl der Form $k=6n+1$ ist.
2) demzufolge muss, wenn deBouville recht hätte $k-2=6n-1$ prim sein.
aus 2) versuche ich nun einen Widerspruch herzuleiten.
Es ist zwar immer einfacher geeignete [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $6n-1\neq [/mm] PRIM$ zu finden jedoch irgendwie keine Regelmäßigkeit, so dass sich "unendlich oft" begründen ließe.
Habt ihr eine Rat für mich? Was sollte ich mir nochmal genauer anschauen?
Vielen Dank für eure Hilfe
mFg iks
*edit* der Kollege Mathematiker hieß de Bouvelle und der Satz stammt von 1509.
Grüße iks
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Hallo x, äh: iks,
zu 1) braucht man doch nicht lange zu suchen: 119=7*17, 121=11*11. k=20 ist der erste Wert, für den die Behauptung nicht stimmt.
zu 2) genügt folgender Tipp, wenn unter 1) ein Gegenbeispiel gefunden ist (und es genügt ein einziges!):
[mm] (a^2+a+1)(a-1)=a^{\blue{3}}-1
[/mm]
[mm] (a^2-a+1)(a+1)=a^{\blue{3}}+1
[/mm]
Wenn Du statt [mm] \blue{3} [/mm] eine andere ungerade Zahl setzt, gibt es entsprechende Zerlegungen. Aber eigentlich reicht doch schon diese, oder?
Der Mathematiker ![[]](/images/popup.gif) Charles de Bouelle (oder de Bouvelle) oder latinisiert Carolus Bovillus (unter diesem Namen hat er veröffentlicht) war übrigens ein interessanter Philosoph und Theologe, als Mathematiker war er wenig gründlich und in verschiedener Hinsicht ein Sonderling. Ich bin sicher, dass er bis mindestens 120 rechnen konnte. Wahrscheinlich war er nur zu faul, es auch zu tun.
Ich finde den Mann sympathisch...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Di 16.03.2010 | | Autor: | iks |
> Hallo x, äh: iks,
>
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") hallo Reverend,
Dank für deine Zerlegung (bitte nicht zur Säge greifen).
> zu 1) braucht man doch nicht lange zu suchen: 119=7*17,
> 121=11*11. k=20 ist der erste Wert, für den die Behauptung
> nicht stimmt.
>
Ja das hat mir Maple auch ausgespuckt
> zu 2) genügt folgender Tipp, wenn unter 1) ein
> Gegenbeispiel gefunden ist (und es genügt ein einziges!):
> [mm](a^2+a+1)(a-1)=a^{\blue{3}}-1[/mm]
> [mm](a^2-a+1)(a+1)=a^{\blue{3}}+1[/mm]
>
Also:
Sei [mm] $k\in\IN$. [/mm] So hat deBouvelle für [mm] $n=36k^3$ [/mm] wegen:
[mm] \[m_1=6n-1=6*36*k^3-1=(6k)^3-1=((6k)^2+6k+1)(6k-1)\]
[/mm]
und
[mm] \[m_2=6n+1=6*36*k^3+1=(6k)^3+1=((6k)^2-6k+1)(6k+1)\]
[/mm]
unrecht. Auf Grund der Unbeschränktheit von [mm] $\IN$ [/mm] sogar unendlich oft.
> Wenn Du statt [mm]\blue{3}[/mm] eine andere ungerade Zahl setzt,
> gibt es entsprechende Zerlegungen. Aber eigentlich reicht
> doch schon diese, oder?
>
Scheint so!! (siehe oben). Bin ja schon ein wenig gewohnt beim Kampf um die Lösung eines Problems ein wenig auf Nebenkriegsschauplätzen zu stöbern.
In diesem Fall wäre ich ohne deinen Hinweis wohl schwer zur Lösung gekommen (wohl weil die $n$ soweit auseinanderliegen (36,288,972...).
Abstract gesagt kommt mir (vllt zZ noch?) das Finden des geeigneten (zur Lösung führenden) zahlentheoretischen Schlachtplatzes wie "gutes" Raten vor.
Also nochmals Dank und Gruß nach NRW
iks
> Der Mathematiker Charles de Bouelle
> (oder de Bouvelle) oder latinisiert Carolus Bovillus (unter
> diesem Namen hat er veröffentlicht) war übrigens ein
> interessanter Philosoph und Theologe, als Mathematiker war
> er wenig gründlich und in verschiedener Hinsicht ein
> Sonderling. Ich bin sicher, dass er bis mindestens 120
> rechnen konnte. Wahrscheinlich war er nur zu faul, es auch
> zu tun.
>
> Ich finde den Mann sympathisch...
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Di 16.03.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo iks,
> Dank für deine Zerlegung (bitte nicht zur Säge greifen).
Sie stammt aber aus dem Film "The Texas Number Theory Chain Saw Massacre (IV)". War ansonsten nicht so erfolgreich, trotz der Besetzung mit Katja Riemann in der Haupt-Ururenkelinnenrolle.
[...]
> Ja das hat mir Maple auch ausgespuckt
Bei Rechnungen im Zahlenraum bis 361 verwende ich nie Maple.
Sonst eigentlich auch nicht.
Liegt vielleicht daran, dass ich es nicht habe, wer weiß?
[...]
> Auf Grund der Unbeschränktheit von [mm]\IN[/mm] sogar
> unendlich oft.
Nu. (im sächsischen und jiddischen Sinn, will sagen: nü)
> Scheint so!! (siehe oben). Bin ja schon ein wenig gewohnt
> beim Kampf um die Lösung eines Problems ein wenig auf
> Nebenkriegsschauplätzen zu stöbern.
> In diesem Fall wäre ich ohne deinen Hinweis wohl schwer
> zur Lösung gekommen (wohl weil die [mm]n[/mm] soweit
> auseinanderliegen (36,288,972...).
Das ist eine der Hürden der Zahlentheorie. Vielleicht stimmt die Behauptung ja sichtlich immer, aber dann ab [mm] 2^{17^{257}} [/mm] doch nicht mehr. Und das hat doch gleich wie viele Stellen (im Oktalsystem, natürlich)?
> Abstract gesagt kommt mir (vllt zZ noch?) das Finden des
> geeigneten (zur Lösung führenden) zahlentheoretischen
> Schlachtplatzes wie "gutes" Raten vor.
Es ist gutes Raten. Vielleicht wäre ja die Betrachtung von (6k+1)(6k-1)+1 oder die von (6k+1)!-(6k-1)! oder gar die von [mm] (3k-2)^k [/mm] erfolgreich gewesen? Diese drei scheinen unwahrscheinlich, aber sie sind jedenfalls nicht von vornherein unmöglich.
Die Frage ist ja hier: wie zeigt man, dass eine Behauptung unendlich oft falsch ist? Ich habe nur versucht zu zeigen, dass es kein größtes k geben kann, für das 6k-1 und 6k+1 nicht prim sind. Lässt sich also zeigen, dass die Annahme eines größten k zu einem Widerspruch führt? Genügt es dafür, die beiden bekannten zerlegbaren Zahlen zu kennen oder vielleicht alle Primzahlen bis dahin oder nur alle Primzahlzwillinge?
Der geeignete Schlachtplatz ist also nicht automatisch zu finden. Auch das macht die Zahlentheorie spannend und kreativ. Gib also nicht auf. Wenn Du einige Beweise kennst (und noch besser: selbst gefunden hast), findest Du die richtige Fährte leichter. So viele Möglichkeiten sind es dann meist doch nicht, die zu betrachten sind. Hier wäre vielleicht auch (Euler-)Fermat zielführend gewesen. Kann man zeigen, dass bei bekannt zerlegbarem [mm] 6k\pm1 [/mm] folgt, dass [mm] 2^{6ak\pm1}\not\equiv 1\mod{(6ak\pm1)} [/mm] ist? Wenn ja, für welche a gilt das? 2, 3, 6, k, oder vielleicht auch [mm] 2k^2?
[/mm]
Mir scheint, dass es glücklicherweise nur abzählbar unendlich viele Lösungswege gibt, die Erfolg versprechen. Und derart kleine Zahlen sollten einen Zahlentheoretiker sicher nicht abschrecken. 
Viel Erfolg weiterhin, und herzliche Grüße aus soeben von Eis und Schnee befreitem Lande,
reverend
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