de Morgansche Regeln < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M eine Menge und seien A und B Teilmengen von M. Dann lauten die Regeln von de Morgan
[mm] M/(A\cup B)=(M/A)\cap(M/B) [/mm] und [mm] M/(A\cap B)=(M/A)\cup(M/B)
[/mm]
a) Beweisen Sie die Regeln formal, indem Sie elementweise die Teilmengen-Eigenschaft nachprüfen.
b) Geben Sie einen graphischen Beweis mittels Venn-Diagrammen. Wie viele Fälle würde ein formalisierter Beweis unterscheiden? |
Hallo.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Problem ist jetzt die Frage a) zusammen mit dem 2ten Teil der Frage b).
Ich hätte ja jetzt den Beweis so durchgeführt:
sei [mm] x\in [/mm] M und [mm] x\not\in A\wedge B\
[/mm]
[mm] x\in M\wedge x\not\in A\wedge x\in M\wedge x\not\in B\
[/mm]
[mm] x\in (M/A)\wedge x\in(M/B)
[/mm]
[mm] x\in((M/A) \cap(M/B))
[/mm]
Ok, im Prinzip kann es hier 5 Fälle geben:
[mm] x\in [/mm] M und [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] B
[mm] x\in [/mm] M und [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\not\in [/mm] B
[mm] x\in [/mm] M und [mm] x\not\in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] B
[mm] x\in [/mm] M und [mm] x\not\in [/mm] A und [mm] x\not\in [/mm] B ( siehe oben )
[mm] x\not\in [/mm] M und [mm] x\not\in [/mm] A und [mm] x\not\in [/mm] B
Muss ich die laut Angabe auch beweisen? Wenn ja, wie?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 So 13.10.2013 | | Autor: | chrisno |
Guten Morgen,
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> Ich hätte ja jetzt den Beweis so durchgeführt:
> sei [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in A\wedge B\[/mm]
vermutlich soll hier ein daraus folgt stehen
> [mm]x\in M\wedge x\not\in A\wedge x\in M\wedge x\not\in B\[/mm]
das stimmt nicht. x kann doch in A sein, wenn es nicht in B ist.
>
> [mm]x\in (M/A)\wedge x\in(M/B)[/mm]
> [mm]x\in((M/A) \cap(M/B))[/mm]
So bearbeitest Du nicht die Aufgabe. Du sollst aus $x [mm] \in M/(A\cup [/mm] B)$ folgern, dass $x [mm] \in(M/A)\cap(M/B) [/mm] $ und umgekehrt.
>
> Ok, im Prinzip kann es hier 5 Fälle geben:
> [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\in[/mm] B
> [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B
> [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\in[/mm] B
> [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B ( siehe oben )
> [mm]x\not\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B
Warum willst Du einen Fall untersuchen, in dem das x nicht in der Menge liegt?
>
> Muss ich die laut Angabe auch beweisen? Wenn ja, wie?
Ich denke nicht. Vermutlich sollst Du einsehen, dass es mit dem Nachweis der Teilmengeneigenschaft schneller geht.
>
> Vielen Dank
>
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> Guten Morgen,
> das stimmt nicht. x kann doch in A sein, wenn es nicht in B
> ist.
Ich habe ja auch einen Fall gewählt, in dem x nicht in A und nicht in B ist. Ich habe unglücklicherweise das falsche Zeichen verwendet. Es sollte heißen:
sei $ [mm] x\in [/mm] $ M und $ [mm] x\not\in A\cup [/mm] B\ $
> So
> bearbeitest Du nicht die Aufgabe. Du sollst aus [mm]x \in M/(A\cup B)[/mm]
> folgern, dass [mm]x \in(M/A)\cap(M/B)[/mm] und umgekehrt.
Ok, wenns so nicht geht, dann hab ich keine Ahnung. Den Ansatz, den ich ausgearbeitet habe, kommt aus der Definition von [mm] \cap [/mm] und [mm] \cup [/mm] und der Differenz
> Warum willst Du einen Fall untersuchen, in dem das x nicht
> in der Menge liegt?
Stimmt, macht wenig Sinn.
> Ich denke nicht. Vermutlich sollst Du einsehen, dass es
> mit dem Nachweis der Teilmengeneigenschaft schneller geht.
Ich habe von einem Nachweis der Teilmengeneigenschaft noch nie gehört. Ich kenne die Eigenschaften der Mengen und weiß, dass dieses Gesetz nichts anderes ist als das Distributivgesetz. Aber wie kann ich das auf anderem Wege zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe von einem Nachweis der Teilmengeneigenschaft noch
> nie gehört. Ich kenne die Eigenschaften der Mengen und
> weiß, dass dieses Gesetz nichts anderes ist als das
> Distributivgesetz.
Nein, die Form eines Distributivgesetzes haben die zu beweisenden Mengengleichheiten nicht.
> Aber wie kann ich das auf anderem Wege
> zeigen?
Um für zwei Mengen $X$ und $Y$ zu zeigen, dass $X=Y$ gilt, zeige nacheinander [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ und [mm] $Y\subseteq [/mm] X$.
[mm] $X\subseteq [/mm] Y$ kannst du folgendermaßen zeigen: Betrachte ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $x\in [/mm] X$ ("Sei [mm] $x\in [/mm] X$.") und folgere, dass auch [mm] $x\in [/mm] Y$ gilt.
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> Nein, die Form eines Distributivgesetzes haben die zu
> beweisenden Mengengleichheiten nicht.
Hmm... laut Skript und Wikipedia ist das aber exakt das Distributivgesetz:
![[]](/images/popup.gif) Mengenlehre
Dort unter Gesetzmäßigkeiten.
gruß
mathe-antifreak
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Nein, die Form eines Distributivgesetzes haben die zu
> > beweisenden Mengengleichheiten nicht.
> Hmm... laut Skript und Wikipedia ist das aber exakt das
> Distributivgesetz:
> Mengenlehre
>
> Dort unter Gesetzmäßigkeiten.
In der Tat werden diese Regeln da als Distributivgesetze geführt.
Unter einem Distributivgesetz verstehe ich jedoch eine Regel der Form
$A*(B+C)=(A*B)+(A*C)$.
Insbesondere treten darin nur zwei Verknüpfungen auf. Das ist bei den Regeln aus der Aufgabenstellung nicht der Fall (dort kommen jeweils die Verknüpfungen [mm] $\setminus$, $\cup$ [/mm] und [mm] $\cap$ [/mm] vor).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathe-antifreak,
> Sei M eine Menge und seien A und B Teilmengen von M. Dann
> lauten die Regeln von de Morgan
> [mm]M/(A\cup B)=(M/A)\cap(M/B)[/mm] und [mm]M/(A\cap B)=(M/A)\cup(M/B)[/mm]
>
> a) Beweisen Sie die Regeln formal, indem Sie elementweise
> die Teilmengen-Eigenschaft nachprüfen.
> b) Geben Sie einen graphischen Beweis mittels
> Venn-Diagrammen. Wie viele Fälle würde ein formalisierter
> Beweis unterscheiden?
Immer, wenn du $/$ schreibst, meinst du wohl [mm] $\setminus$.
[/mm]
a):
> Ich hätte ja jetzt den Beweis so durchgeführt:
> sei [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in A\wedge B\[/mm]
Wie du in deiner weiteren Frage bereits schriebst, soll es [mm] $x\notin A\cup [/mm] B$ heißen.
Dann folgt
> [mm]x\in M\wedge x\not\in A\wedge x\in M\wedge x\not\in B\[/mm]
Also gilt
> [mm]x\in (M/A)\wedge x\in(M/B)[/mm]
und damit
> [mm]x\in((M/A) \cap(M/B))[/mm]
Jetzt hast du gezeigt: Jedes Element [mm] $x\in M\setminus(A\cup [/mm] B)$ erfüllt auch [mm] $x\in(M\setminus [/mm] A) [mm] \cap(M\setminus [/mm] B)$. Das heißt [mm] $M\setminus(A\cup [/mm] B)$ ist eine Teilmenge von [mm] $(M\setminus A)\cap(M\setminus [/mm] B)$.
Nun ist noch zu zeigen, dass auch [mm] $(M\setminus A)\cap(M\setminus [/mm] B)$ eine Teilmenge von [mm] $M\setminus(A\cup [/mm] B)$ ist.
(Natürlich ist die zweite in der Aufgabenstellung behauptete Gleichheit auch noch zu verifizieren.)
b):
> Ok, im Prinzip kann es hier 5 Fälle geben:
> [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\in[/mm] B
> [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B
> [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\in[/mm] B
> [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B ( siehe oben )
> [mm]x\not\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B
Ich halte den Fall [mm] $x\notin [/mm] M$ nicht für überflüssig. Du willst für beliebige Objekte $x$ zeigen, dass [mm] $x\in M\setminus(A\cup [/mm] B)$ genau dann gilt, wenn [mm] $x\in (M\setminus A)\cap(M\setminus [/mm] B)$. A priori könnte ja $x$ durchaus ein Objekt sein, dass nicht in $M$ liegt. Dann würde eben weder [mm] $x\in M\setminus(A\cup [/mm] B)$ noch [mm] $x\in (M\setminus A)\cap(M\setminus [/mm] B)$ gelten.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo mathe-antifreak,
> Immer, wenn du [mm]/[/mm] schreibst, meinst du wohl [mm]\setminus[/mm].
Ja richtig. Der Backslash hat nicht richtig funktioniert.
> Dann folgt
> > [mm]x\in M\wedge x\not\in A\wedge x\in M\wedge x\not\in B\[/mm]
>
> Also gilt
> > [mm]x\in (M/A)\wedge x\in(M/B)[/mm]
> und damit
> > [mm]x\in((M/A) \cap(M/B))[/mm]
> Jetzt hast du gezeigt: Jedes
> Element [mm]x\in M\setminus(A\cup B)[/mm] erfüllt auch
> [mm]x\in(M\setminus A) \cap(M\setminus B)[/mm]. Das heißt
> [mm]M\setminus(A\cup B)[/mm] ist eine Teilmenge von [mm](M\setminus A)\cap(M\setminus B)[/mm].
Also würdest du sagen, dass mein Beweis Teil1 richtig ist? Klar, ich muss noch beweisen, dass die rechte Seite eine Teilmenge von Linke Seite ist, das habe ich auch schon gemacht.
>
> Nun ist noch zu zeigen, dass auch [mm](M\setminus A)\cap(M\setminus B)[/mm]
> eine Teilmenge von [mm]M\setminus(A\cup B)[/mm] ist.
Ja das habe ich auch schon gemacht, mit den selben Schritten, nur rückwärts.
> b):
> > Ok, im Prinzip kann es hier 5 Fälle geben:
> > [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\in[/mm] B
> > [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B
> > [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\in[/mm] B
> > [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B ( siehe oben )
> > [mm]x\not\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B
> Ich halte den Fall [mm]x\notin M[/mm] nicht für überflüssig. Du
> willst für beliebige Objekte [mm]x[/mm] zeigen, dass [mm]x\in M\setminus(A\cup B)[/mm]
> genau dann gilt, wenn [mm]x\in (M\setminus A)\cap(M\setminus B)[/mm].
> A priori könnte ja [mm]x[/mm] durchaus ein Objekt sein, dass nicht
> in [mm]M[/mm] liegt. Dann würde eben weder [mm]x\in M\setminus(A\cup B)[/mm]
> noch [mm]x\in (M\setminus A)\cap(M\setminus B)[/mm] gelten.
Die Frage die ich hier habe ist, wie gehe ich an die Fälle denn heran? Oder brauche ich die nicht beweisen, sondern nur wissen, dass es die Fälle gibt? Falls ich die nicht wissen muss, möchte ich dennoch die Herangehensweise wissen, würde mich trotzdem interessieren. :)
> Viele Grüße
> Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also würdest du sagen, dass mein Beweis Teil1 richtig ist?
Ja. Das war allerdings für chrisno aufgrund deines Tippfehlers (und der fehlenden Kommentierung, welche Teilmengenbeziehung du gerade beweisen möchtest) nicht erkennbar.
> Klar, ich muss noch beweisen, dass die rechte Seite eine
> Teilmenge von Linke Seite ist, das habe ich auch schon
> gemacht.
> >
> > Nun ist noch zu zeigen, dass auch [mm](M\setminus A)\cap(M\setminus B)[/mm]
> > eine Teilmenge von [mm]M\setminus(A\cup B)[/mm] ist.
> Ja das habe ich auch schon gemacht, mit den selben
> Schritten, nur rückwärts.
Tatsächlich funktioniert das hier so.
> > b):
> > > Ok, im Prinzip kann es hier 5 Fälle geben:
> > > [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\in[/mm] B
> > > [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B
> > > [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\in[/mm] B
> > > [mm]x\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B ( siehe oben
> )
> > > [mm]x\not\in[/mm] M und [mm]x\not\in[/mm] A und [mm]x\not\in[/mm] B
> > Ich halte den Fall [mm]x\notin M[/mm] nicht für überflüssig.
> Du
> > willst für beliebige Objekte [mm]x[/mm] zeigen, dass [mm]x\in M\setminus(A\cup B)[/mm]
> > genau dann gilt, wenn [mm]x\in (M\setminus A)\cap(M\setminus B)[/mm].
> > A priori könnte ja [mm]x[/mm] durchaus ein Objekt sein, dass nicht
> > in [mm]M[/mm] liegt. Dann würde eben weder [mm]x\in M\setminus(A\cup B)[/mm]
> > noch [mm]x\in (M\setminus A)\cap(M\setminus B)[/mm] gelten.
> Die Frage die ich hier habe ist, wie gehe ich an die
> Fälle denn heran? Oder brauche ich die nicht beweisen,
> sondern nur wissen, dass es die Fälle gibt? Falls ich die
> nicht wissen muss, möchte ich dennoch die Herangehensweise
> wissen, würde mich trotzdem interessieren. :)
Ich verstehe die Aufgabenstellung so, dass kein erneuter Beweis der behaupteten Mengengleichheiten verlangt ist.
Herangehensweise für einen solchen Beweis wäre, in allen 5 Fällen nachzuprüfen, ob jeweils [mm] $x\in M\setminus(A\cup [/mm] B)$ und [mm] $x\in (M\setminus A)\cap (M\setminus [/mm] B)$ gilt. Dabei solltest du dann feststellen, dass [mm] $x\in M\setminus(A\cup [/mm] B)$ genau dann gilt, wenn [mm] $x\in (M\setminus A)\cap (M\setminus [/mm] B)$ gilt. Also folgt wie gewünscht [mm] $M\setminus(A\cup B)=(M\setminus A)\cap (M\setminus [/mm] B)$.
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Perfekt. Vielen Dank für die Erklärungen. Super Forum .
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