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| Aufgabe | | Überlegen Sie warum [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n [/mm] |
Hallo, ich hänge leider an einer Stelle in meiner Aufgabe und würde mich sehr über Tipps freuen.
Zunächst betrachte ich [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
[/mm]
[mm] \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=\lim_{k \to \infty } \sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n}{n!}
[/mm]
Nun definiere ich mir die Folge
[mm] (a_k)_{k\in \mathbb N }:=\sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n}{n!}
[/mm]
Als nächstes betrachte ich [mm] \lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n
[/mm]
[mm] (1+\frac{x}{n})^n [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{x}{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!k!} \frac{x}{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!n^k} \frac{x^k}{k!}
[/mm]
Um das ganze an [mm] a_k [/mm] anzupassen, tausche ich hier nun k und n (also nur die bezeichnungen)
[mm] ->\lim_{k \to \infty } \frac{k!}{(k-n)!k^n} \frac{x^n}{n!}
[/mm]
und definiere die Folge
[mm] (b_k)_{k\in \mathbb N }:= \frac{k!}{(k-n)!k^n} \frac{x^n}{n!}
[/mm]
jetzt müsste ich ja eigentlich zeigen, dass a und b konvergieren und den gleichen Grenzwert haben oder?
Konvergenz von [mm] a_k
[/mm]
[mm] \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^n}=\frac{x}{n+1}
[/mm]
und das ist für die meisten [mm] n\in \mathbb [/mm] N (nämlich alle n>=x) kleiner als 1 also Konvergiert die Folge.
Bei Konvergenz [mm] b_k [/mm] reicht es ja zu zeigen, dass der erste Summand komvergiert:
[mm] \frac{k!}{(k-(n+1))!k^{(n+1)}}* \frac{(k-n)!k^{(n)}}{k!}= \frac{(k-n)!k^{(n)}}{(k-(n+1))!k^{(n+1)}}= \frac{(k-n)}{k}
[/mm]
da n ja maximal k sein kann, ist hier (k-n)/k <1
Aber wie gehe ich jetzt weiter?
Sitz irgendwie fest.
Würde mich wirklich über Hilfe freuen.
p.s. ich habe die frage bereits gestern in einem anderen forum gestellt, leider ohne reaktion. hier der link: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=477622
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 So 18.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Überlegen Sie warum [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n[/mm]
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> Hallo, ich hänge leider an einer Stelle in meiner Aufgabe
> und würde mich sehr über Tipps freuen.
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> Zunächst betrachte ich [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}[/mm]
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> [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=\lim_{k \to \infty } \sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n}{n!}[/mm]
>
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> Nun definiere ich mir die Folge
> [mm](a_k)_{k\in \mathbb N }:=\sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n}{n!}[/mm]
So schreibt man das nicht! Du definierst die Folge [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_k [/mm] := [mm] \sum_{n=0}^k \frac{x^}{n!}$.
[/mm]
> Als nächstes betrachte ich [mm]\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n[/mm]
>
> [mm](1+\frac{x}{n})^n[/mm] = [mm]\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{x}{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!k!} \frac{x}{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!n^k} \frac{x^k}{k!}[/mm]
Wo hast du die Summe gelassen?
> Um das ganze an [mm]a_k[/mm] anzupassen, tausche ich hier nun k und
> n (also nur die bezeichnungen)
> [mm]->\lim_{k \to \infty } \frac{k!}{(k-n)!k^n} \frac{x^n}{n!}[/mm]
>
> und definiere die Folge
> [mm](b_k)_{k\in \mathbb N }:= \frac{k!}{(k-n)!k^n} \frac{x^n}{n!}[/mm]
Hier fehlt die Summe!
> jetzt müsste ich ja eigentlich zeigen, dass a und b
> konvergieren und den gleichen Grenzwert haben oder?
Ja. Wobei es reicht zu zeigen: eine der beiden Folgen konvergiert, und die Folge [mm] $(a_k [/mm] - [mm] b_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist eine Nullfolge.
Dass etwa [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] konvergiert folgt direkt mit dem Wurzelkriterium fuer Reihen.
> Konvergenz von [mm]a_k[/mm]
> [mm]\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^n}=\frac{x}{n+1}[/mm]
Das ist nicht die Folge [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$! [/mm] Was tust du hier? (Bzw. was willst du tun?)
> und das ist für die meisten [mm]n\in \mathbb[/mm] N (nämlich alle
> n>=x) kleiner als 1 also Konvergiert die Folge.
>
>
> Bei Konvergenz [mm]b_k[/mm] reicht es ja zu zeigen, dass der erste
> Summand komvergiert:
Du hast [mm] $b_k$ [/mm] ohne Summe definiert. Welchen Summand meinst du also?
Und wieso sollte es ausreichen, nur den ersten Summand zu betrachten?
> [mm]\frac{k!}{(k-(n+1))!k^{(n+1)}}* \frac{(k-n)!k^{(n)}}{k!}= \frac{(k-n)!k^{(n)}}{(k-(n+1))!k^{(n+1)}}= \frac{(k-n)}{k}[/mm]
>
> da n ja maximal k sein kann, ist hier (k-n)/k <1
Was tust du hier?
> Aber wie gehe ich jetzt weiter?
> Sitz irgendwie fest.
Du betrachtest [mm] $\sum_{n=0}^k \frac{x^n}{n!} [/mm] - [mm] \sum_{n=0}^k \frac{k!}{(k - n)! k^n} \cdot \frac{x^n}{n!}$ [/mm] und zeigst, dass dies fuer $k [mm] \to \infty$ [/mm] gegen 0 geht.
LG Felix
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> Moin!
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> > Überlegen Sie warum [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n[/mm]
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> >
> > Hallo, ich hänge leider an einer Stelle in meiner Aufgabe
> > und würde mich sehr über Tipps freuen.
> >
> >
> >
> > Zunächst betrachte ich [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=\lim_{k \to \infty } \sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n}{n!}[/mm]
>
> >
> >
> > Nun definiere ich mir die Folge
> > [mm](a_k)_{k\in \mathbb N }:=\sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n}{n!}[/mm]
>
> So schreibt man das nicht! Du definierst die Folge
> [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] mit [mm]a_k := \sum_{n=0}^k \frac{x^}{n!}[/mm].
>
> > Als nächstes betrachte ich [mm]\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n[/mm]
>
> >
> > [mm](1+\frac{x}{n})^n[/mm] = [mm]\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{x}{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!k!} \frac{x}{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!n^k} \frac{x^k}{k!}[/mm]
>
> Wo hast du die Summe gelassen?
>
Oh die ging wohl irgendwie verloren :/
Also
[mm] (1+\frac{x}{n})^n [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{x}{n}^k=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!k!} \frac{x}{n}^k=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!n^k} \frac{x^k}{k!}
[/mm]
> > Um das ganze an [mm]a_k[/mm] anzupassen, tausche ich hier nun k und
> > n (also nur die bezeichnungen)
> > [mm]->\lim_{k \to \infty } \frac{k!}{(k-n)!k^n} \frac{x^n}{n!}[/mm]
>
> >
> > und definiere die Folge
> > [mm](b_k)_{k\in \mathbb N }:= \frac{k!}{(k-n)!k^n} \frac{x^n}{n!}[/mm]
>
> Hier fehlt die Summe!
Also: Ich definiere die Folge [mm] (b_k){k\in \mathbb N } [/mm] mit [mm] b_k:=\sum\limits_{k=0}^n \frac{k!}{(k-n)!k^n} \frac{x^n}{n!}
[/mm]
>
> > jetzt müsste ich ja eigentlich zeigen, dass a und b
> > konvergieren und den gleichen Grenzwert haben oder?
>
> Ja. Wobei es reicht zu zeigen: eine der beiden Folgen
> konvergiert, und die Folge [mm](a_k - b_k)_{k\in\IN}[/mm] ist eine
> Nullfolge.
>
> Dass etwa [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] konvergiert folgt direkt mit dem
> Wurzelkriterium fuer Reihen.
>
> > Konvergenz von [mm]a_k[/mm]
> > [mm]\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^n}=\frac{x}{n+1}[/mm]
>
> Das ist nicht die Folge [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm]! Was tust du hier?
> (Bzw. was willst du tun?)
Ich nutze das Quotientenkriterium
also [mm] a_{n+1}/a_n
[/mm]
>
> > und das ist für die meisten [mm]n\in \mathbb[/mm] N (nämlich alle
> > n>=x) kleiner als 1 also Konvergiert die Folge.
> >
> >
> > Bei Konvergenz [mm]b_k[/mm] reicht es ja zu zeigen, dass der erste
> > Summand komvergiert:
>
> Du hast [mm]b_k[/mm] ohne Summe definiert. Welchen Summand meinst du
> also?
Ich meinte den ersten Faktor.
>
> Und wieso sollte es ausreichen, nur den ersten Summand zu
> betrachten?
Weil ich dachte, dass wenn 2 Faktoren Konvergieren, auch das Produkt konvergiert.
>
> > [mm]\frac{k!}{(k-(n+1))!k^{(n+1)}}* \frac{(k-n)!k^{(n)}}{k!}= \frac{(k-n)!k^{(n)}}{(k-(n+1))!k^{(n+1)}}= \frac{(k-n)}{k}[/mm]
>
> >
> > da n ja maximal k sein kann, ist hier (k-n)/k <1
>
> Was tust du hier?
>
> > Aber wie gehe ich jetzt weiter?
> > Sitz irgendwie fest.
>
> Du betrachtest [mm]\sum_{n=0}^k \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^k \frac{k!}{(k - n)! k^n} \cdot \frac{x^n}{n!}[/mm]
> und zeigst, dass dies fuer [mm]k \to \infty[/mm] gegen 0 geht.
Ist das soweit:
[mm] \sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n}{n!} [/mm] - [mm] \frac{k! x^n}{(k-n)!k^n n!} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n(k-n)!k^n}{(k-n)!k^n n!}- \frac{k! x^n}{(k-n)!k^n n!}=\sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n(k-n)!k^n-x^nk!)}{(k-n)! n!k^n}=\sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n((k-n)!k^n-k!))}{(k-n)! n!k^n}=\sum\limits_{n=0}^k \frac{x^n}{n!}\frac{(k-n)!k^n-k!}{(k-n)!k^n} [/mm] erstmal richtig?
danke schon jetzt für die Hilfe!!!
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 20.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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