definition span < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mi 22.12.2004 | | Autor: | beraht |
hallo,
ich habe mir mal die definition eines spans verinnerlicht und verstehe jetzt folgendes unter einem span
Es sei K ein körpervektorraum mit V: Menge von vektoren
dann ist u eine, nur aus linearabhängigen vektoren bestehende, teilmenge von V ein Span.
das ist es was ich der definition entnehme.
ein span ist so gesehen nur eine menge linearabhängiger vektoren.
ist das richtig oder gibt es noch irgendetwas anderes was einen Span ausmacht oder was man beachten muss.
die zugrundeliegende definition:
![[]](/images/popup.gif) http://www.minet.uni-jena.de/algebra/skripten/math_f_inf.pdf Seite 22 definition unter 5.2
ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo beraht
> hallo,
> ich habe mir mal die definition eines spans verinnerlicht
> und verstehe jetzt folgendes unter einem span
>
> Es sei K ein körpervektorraum mit V: Menge von vektoren
>
> dann ist u eine, nur aus linearabhängigen vektoren
> bestehende, teilmenge von V ein Span.
> das ist es was ich der definition entnehme.
> ein span ist so gesehen nur eine menge linearabhängiger
> vektoren.
> ist das richtig oder gibt es noch irgendetwas anderes was
> einen Span ausmacht oder was man beachten muss.
Ich glaube, du hast das nicht ganz richtig verstanden.
Die Idee ist die:
Nimm eine Teilmenge aus V, zum Beispiel einfach 3 beliebige Vektoren.
Die Menge aller Linearkombinationen, die du aus diesen Vektoren bilden kannst, ist der Aufspann. Dabei ist noch zu beachten, dass die Definition im Skript nicht ganz genau ist, im Allgemeinen betrachtet. Ich habe mir das Skript nicht so genau angesehen, um zu beurteilen, ob es in eurem Zusammenhang stimmt. Allgemein hat man es ja mit Vektorräumen über einem beliebigen Körper K zu tun, und dann müsste es heissen, dass
[mm] $r_1 [/mm] ... [mm] r_n \in [/mm] K$ sind (nicht in [mm] \IR). [/mm] Wenn ihr aber nur Vektorräume über [mm] \IR [/mm] betrachtet, dann geht das schon in Ordnung!
Der Aufspann ist ein Unterraum von V.
Ich nehme einmal ein einfaches Beispiel.
Nehmen wir als V den [mm] $\IR^3$, [/mm] und als Teilmenge die Vektoren mit den Koordinaten (1,1,2) und (4,4,8).
Jetzt kannst du alle Linearkombinationen nehmen, und die bilden den Aufspann. In diesem Falle ist es eine Gerade.
Oder: die Teilmenge bestehe aus den Vektoren (1,1,1) und (0,0,1). Diese beiden Vektoren spannen eine Ebene auf, und diese Ebene ist eben der Aufspann der beiden Vektoren.
Nimm die 4 Vektoren (1,1,1), (0,0,1), (2,2,5) und (5,5,0).
Diese Vektoren sind linear abhängig, sie Spannen auch eine Ebene auf, und zwar in diesem Falle die gleiche Ebene wie das vorhergehende Beispiel.
Die Vektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) spannen den ganzen [mm] \IR^3 [/mm] auf.
Wenn man die Dimension des aufgespannten Unterraumes, auf welche Art auch immer, bestimmen kann und man genausoviele linear unabhängige Vektoren aus dem Aufspann als Teilmenge des Vektorraums auswählt, dann spannen diese unabhängigen Vektoren den gleichen Unterraum auf, und sie bilden sogar eine Basis des Aufspanns.
Ist das einigermassen klar geworden?
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mo 27.12.2004 | | Autor: | beraht |
hallo,
Danke für die nette und ausführliche erklärung.
ich denke ich verstehe das jetzt soweit aber ein
Problem gibt es noch:
ich sehe da jetzt nich so richtig den Unterschied zum untervektorraum.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mo 27.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo beraht!
Deine Beobachtung ist vollkommen richtig:
Jeder Span von Vektoren eines Vektorraumes ist ein Untervektorraum, und umgekehrt lässt sich jeder Untervektorraum als Span geeigneter Vektoren (eines sogenannten Erzeugendensystems) darstellen.
Es gibt also keinen Unterschied.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Di 28.12.2004 | | Autor: | beraht |
hallo,
danke für die antwort.
aber so ganz abfinden kann ich mich damit irgendwie nicht.
man definiert doch nicht "aus spass" zwei begriffe, die ein und das selbe bezeichnen.
Naja ganz sicher bin ich mir da natürlich nicht. leuten die sich mit algebra beschäftigen scheint es ja große freude zu bereiten, irgend welche merkwürdigen dinge zu definieren 
jetzt mal im ernst,
ist das wirklich so, oder gibt es einen unterschied den man im ersten semester, mangels Grundlagen, nicht erfassen kann. oder irgend etwas anderes, aber nach meinem verständnis ist es doch unsinnig zwei begriffe für ein und das selbe zu definieren.
ich hoffe das mein ewiges gefrage keinen stört, aber ich möchte halt sichergehen das ich wirklich erfasse was es damit aufsich hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 So 02.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, einen Untervektorraum kann ich irgendwie beschreiben, etwa so:
$U = [mm] \{(0,0,1)\}^{\perp}$.
[/mm]
In $U$ sollen also alle Vektoren $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] sein, die zu $(0,0,1)$ orthogonal sind. Dann überlege ich mir, von welchen Vektoren $U$ aufgespannt wird. Man stellt fest, dass dies etwa [mm] $u_1=(1,0,0)^T$ [/mm] und [mm] $u_2=(0,1,0)$ [/mm] erfüllen (es gibt aber noch unendlich viele andere mögliche Wahlen).
Daher kann ich jetzt schreiben:
[mm] $U=Span(u_1,u_2)$.
[/mm]
Das ist der Zusammenhang.
Es ist in etwa so, als wenn du einem Freund erzählst:
"Ich habe mit meiner Familie Weihnachten gefeiert"
und einem anderen erzählst du:
"Ich habe mit einer Gemeinschaft Weihnachten gefeiert, die aus der Liebe meiner Eltern hervorgegangen ist".
Das sind (in der Regel  ) die gleichen Objekte, nur anders beschrieben.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
