definitions-und wertemenge < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lalalove |
hallo.
Ich weiß nicht wie man die Definitionsmenge und die Wertemenge bestimmt.
Kann mir dies bitte jemand ausführlich und rechnerisch erklären?
z.B: die FUnktionen f(x)=1 oder f(x)=x oder f(x)=x³ ..
die erste funktion die ich angegeben habe, ist eine Gerade die parallel zur x-Achse ist.. hier würde ich sagen das man alle Zahlen für x einsetzen kann..
Aber wie kriege ich dies rechnerisch raus, oder wie bestimme ich das wenn ich jetzt keine zeicnung dazu hätte?
Was ist zweite Fukntion ist eine Winkelhalbierende.. hier gehen auch alle zahlen?!
und die dritte funktion ist eine Parabel...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi lalalove!
> hallo.
>
> Ich weiß nicht wie man die Definitionsmenge und die
> Wertemenge bestimmt.
> Kann mir dies bitte jemand ausführlich und rechnerisch
> erklären?
>
> z.B: die FUnktionen f(x)=1 oder f(x)=x oder f(x)=x³ ..
>
> die erste funktion die ich angegeben habe, ist eine Gerade
> die parallel zur x-Achse ist.. hier würde ich sagen das
> man alle Zahlen für x einsetzen kann..
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber wie kriege ich dies rechnerisch raus, oder wie
> bestimme ich das wenn ich jetzt keine zeicnung dazu
> hätte?
Du hast ja bereits richtig erkannt, dass die Funktion konstant ist. Ganz gleich, welchen Wert du auch für $\ x $ wählst, die Funktion ändert sich nicht. Da kannst du eigentlich nichts rechnen.
Es ist $\ \mathbb D_f = \IR $ und $\ \mathbb W_f = \IR $
Eine  Funktion ist ja nichts anderes, als eine Abbildung von der Definitionsmenge $\ \mathbb D_f$ in die Wertemenge $\ \mathbb W_f $, es wird also jedem Element $\ x \in \mathbb D_f $ eindeutig ein $\ y \in \mathbb W_f $ zugeordnet.
Wenn Du nun $\ f(x) = 1 $ erneut betrachtest (ob du den Graphen oder die Funktion betrachtest sei Dir überlassen), stellst du Fest, dass jedes $\ x \in \mathbb D_f $ auf ein einziges $\ y \in \mathbb W_f $ abgebildet wird.
Es ist $\ \mathbb D_f = \IR $, da du uneingeschränkt alle möglichen Werte für $\ x $ wählen kannst.
$\ \mathbb W_f $ kann sowohl $\ \IR $ als auch jede mögliche Teilmenge von $\ \IR$ sein. Es muss jedenfalls immer $\ y = 1 $ Element dieser Menge sein.
Entscheident in unseren Betrachtungen ist in der Regel immer die Definitionsmenge, denn von ihr hängt die Wertemenge im wesentlichen ab.
> Was ist zweite Fukntion ist eine Winkelhalbierende.. hier
> gehen auch alle zahlen?!
>
Also $\ \mathbb D_f = \IR$ und $\ \mathbb W_f = \IR $
> und die dritte funktion ist eine Parabel...
Auch hier ist die Funktion $\ f $ überall definiert. $\ x$ und $\ y $ können jeden Wert annehmen, also erneut
$\ \mathbb D_f = \IR$ und $\ \mathbb W_f = \IR $.
Ganz Allgemein:
Du musst überprüfen, ob es Werte für $\ x $ gibt, die du nicht einsetzen darfst/kannst, wie z.b.:
$\ f_1(x) = \bruch{1}{x} $
Hier darfst du $\ x = 0 $ nicht wählen, da du ja bekanntlich nicht durch Null teilen darfst. Deshalb gilt: $\ \mathbb D_{f_1} = \IR \backslash \{0\} $ (lies: Der Definitionsbereich von $\ f_1 $ ist die Menge der Reellen Zahlen ohne Null.)
$\ f_2(x) = \bruch{2}{(x-2)(x+1) $
Es ist $\ \mathbb D_{f_2} = \IR \backslash \{2,-1\} $ Denn für $\ x = 2 $ und $\ x = -1 $ wird der Nenner erneut zu Null.
$\ f_3(x) = \lg(x) $ ist nur für $\ x > 0 $ definiert. Also $\ \mathbb D_{f_3} = \IR^+ $
Kannst du dir vorstellen, wie die Definitionsmenge von $\ f_4(x) = \wurzel{x}$ aussieht?
Bin auf Deine Antwort gespannt 
Frag ruhig, wenn etwas unklar ist
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 10.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Guten Abend Loddar,
>
> > dann wäre die Wertemenge genau so?
>
>
Falls die Funktion $\ f(x) = [mm] \wurzel{x}$ [/mm] nicht surjektiv ist, spricht doch nichts gegen die Wertemenge $\ [mm] \mathbb W_f [/mm] = [mm] \IR [/mm] $, oder?
Dann ist $\ f: [mm] \IR^+_0 \rightarrow \IR [/mm] $
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 10.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Guten Abend schachuzipus,
> Hallo ChopSuey,
>
> > Guten Abend Loddar,
> >
> > >
> > > > dann wäre die Wertemenge genau so?
> > >
> > >
> >
> > Falls die Funktion [mm]\ f(x) = \wurzel{x}[/mm] nicht surjektiv ist,
> > spricht doch nichts gegen die Wertemenge [mm]\ \mathbb W_f = \IR [/mm],
> > oder?
>
> Hmm, was meinst du mit "Falls"?
>
> Die Funktion [mm]$f(x)=\sqrt{x}[/mm] IST nicht surjektiv (auf
> [mm]$\IR$)[/mm]
>
> Sicherlich ist [mm]f:\IR^{\ge 0}\to\IR, x\to\sqrt{x}[/mm] eine
> korrekte Funktionsvorschrift, aber unter der Wertemenge
> verstehe ich [mm]f(\IR^{\ge 0})[/mm].
>
> Und das ist nunmal [mm]\IR^{\ge 0}[/mm]
>
> Negative Zahlen kommen im Bild von f nicht vor.
Ah, verstehe. Ich hab heute morgen gemerkt, dass ich mir nicht so sicher war, ob jedes Element der Bildmenge ein Urbild besitzen muss.
Ich dachte, dass die Wertemenge im Grunde nur mindestens alle Bilder enthalten muss. Sonst aber beliebig viele weitere Elemente besitzen darf.
Das würde ja bedeuten, dass bei einer Funktion $\ f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y $ die Wertemenge immer nur $\ f(X) = [mm] \{f(X) | x \in X \}$ [/mm] mit $\ f(X) [mm] \subset [/mm] Y $ ist. Ich hoffe ich hab' hier keinen Unfug geschrieben.
Aber wie sieht dann eine surjektive Funktion aus? Falls die Wertemenge immer nur $\ f(X) $ ist, gibt es ja kein $\ y [mm] \in [/mm] Y $ für das nicht $\ y = f(x) $ gilt.
>
> Ich hoffe, wir haben jetzt nicht aneinander vorbeigeredet
> 
Dito
>
> Falls doch, hau mich ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") und frag nochmal nach.
Letzteres ist schon erledigt
>
> LG
>
> schachuzipus
> >
> > Dann ist [mm]\ f: \IR^+_0 \rightarrow \IR[/mm]
> >
> >
> > Viele Grüße
> > ChopSuey
> >
> >
> >
Danke für Deine Antwort.
Viele Grüße
ChopSuey
>
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Hallo nochmal, ChopSuey,
> Guten Abend schachuzipus,
>
> Ah, verstehe. Ich hab heute morgen gemerkt, dass ich mir
> nicht so sicher war, ob jedes Element der Bildmenge ein
> Urbild besitzen muss.
>
> Ich dachte, dass die Wertemenge im Grunde nur mindestens
> alle Bilder enthalten muss. Sonst aber beliebig viele
> weitere Elemente besitzen darf.
Ich glaube, das Problem liegt in einer uneinheitlichen Verwendung der Begriffe.
Für mich ist - wie gesagt, die Wertemenge das Bild der Funktion, die Zielmenge/Zielbereich eine Obermenge davon.
Ich denke, dass auch die Aufgabenstellung so gemeint ist, ansonsten wäre sie ziemlich fad ...
Wie im Bsp. [mm] $f:\IR^{\ge 0}\to\IR [/mm] \ $ (Zielmenge), [mm] $x\mapsto\sqrt{x}$
[/mm]
Wenn aber die Wertemenge gemeint ist, ist das m.E. [mm] $f(\IR^{\ge 0})=\IR^{\ge 0}$
[/mm]
Ich stelle mir das wie eine Maschine vor, du steckst die Elemente des Definitionsbereichs rein, die Funktion verwurstet das und raus kommen die Bilder, die man zur Wertemenge zusammenfasst
>
> Das würde ja bedeuten, dass bei einer Funktion [mm]\ f: X \rightarrow Y[/mm]
> die Wertemenge immer nur [mm]\ f(X) = \{f(X) | x \in X \}[/mm] mit [mm]\ f(X) \subset Y[/mm]
> ist. Ich hoffe ich hab' hier keinen Unfug geschrieben.
Nein, das ist ganz in meinem Sinne
>
> Aber wie sieht dann eine surjektive Funktion aus? Falls die
> Wertemenge immer nur [mm]\ f(X)[/mm] ist, gibt es ja kein [mm]\ y \in Y[/mm]
> für das nicht [mm]\ y = f(x)[/mm] gilt.
Hmm, wenn du eine Funktion [mm] $f:X\to [/mm] Y$ hast, ist - wie du ganz richtig sagst, das Bild von f eine Teilmenge der Zielmenge, also [mm] $f(X)\subset [/mm] Y$
Schränkst du die Zielmenge der Funktion auf ihr Bild ein, so machst du sie damit automatisch surjektiv, also [mm] $\tilde{f}:X\to [/mm] f(X)$ ist sicher surjektiv
>
> >
> > Ich hoffe, wir haben jetzt nicht aneinander vorbeigeredet
> >
>
> Dito
> Danke für Deine Antwort.
> Viele Grüße
> ChopSuey
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lalalove |
>
> Ganz Allgemein:
>
> Du musst überprüfen, ob es Werte für [mm]\ x[/mm] gibt, die du
> nicht einsetzen darfst/kannst, wie z.b.:
>
> [mm]\ f_1(x) = \bruch{1}{x}[/mm]
>
> Hier darfst du [mm]\ x = 0[/mm] nicht wählen, da du ja bekanntlich
> nicht durch Null teilen darfst. Deshalb gilt: [mm]\ \mathbb D_{f_1} = \IR \backslash \{0\}[/mm]
> (lies: Der Definitionsbereich von [mm]\ f_1[/mm] ist die Menge der
> Reellen Zahlen ohne Null.)
>
Also ist die Wertemenge hier auch D = R [mm] \{0} [/mm] ?
..ALso Definitionsmenge und Wertemenge sind immer gleich?
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> Also ist die Wertemenge hier auch D = R [mm]\backslash\{0\}[/mm] ?
Bei der Wurzelfunktion ? ..... Nein !
Da wäre Definitionsmenge = Wertemenge = [mm] [0\,...\,\infty) [/mm] = [mm] \IR_0^+
[/mm]
> ..Also Definitionsmenge und Wertemenge sind immer gleich?
Keinesfalls !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lalalove |
hier habe ich noch weitere funktion:
f(x)=|x|
hier sind die Mengen D = R oder?
da ja Betragstriche vorhanden sind..
f(x)= sgn(x)
was ist denn dieses "sgn" ?
f(x)= sin x
D = [mm] \R_{0}^{+} [/mm] und Wertemenge ist auch so.
f(x)= cos x
D = R und W= R
so richtig?
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Hallo nochmal,
> > Hallo lalalove,
> >
> > > hier habe ich noch weitere funktion:
> > >
> > > f(x)=|x|
> > >
> > > hier sind die Mengen D = R oder?
> > > da ja Betragstriche vorhanden sind..
> >
> > Ja, der Betrag ist für alle reellen Zahlen definiert,
> > daher [mm]\mathbb{D}=\IR[/mm]
> >
> > Wie sieht es mit der Wertemenge aus?
> >
> W = [mm]\IR[/mm]
Nein! Wenn du schreibst, dass die Wertemenge [mm] $\IR$ [/mm] ist, dann liegt darin ja auch etwa $-4$
Nenne mir mal eine reelle Zahl $x$ mit $|x|=-4$ !
> > >
> > > f(x)= sgn(x)
> > >
> > > was ist denn dieses "sgn" ?
> >
> > Das bedeutet "signum" und bezeichnet die
> > Vorzeichenfunktion.
> >
> > Die Signumfunktion ist wie folgt definiert:
> >
> > [mm]\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases} +1 & \mbox{für } x>0 \\ 0 & \mbox{für } x=0\\ -1 & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Wie sieht's also mit Definitions- und Wertemenge aus?
> >
>
> D= [mm]\IR[/mm] und W= [mm]\IR[/mm] ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kannst du das hinschreiben??
Ich habe dir oben in der Definition der Signumfunktion doch die 3 Funktionswerte, die angenommen werden, hingeschrieben.
Du solltest dir die Antworten, die du bekommst, auch durchlesen!
Echt !
Mann Mann
> > >
> > > f(x)= sin x
> > >
> > > D = [mm]\R_{0}^{+}[/mm] und Wertemenge ist auch so.
> >
> > Das Zeichen für die reellen Zahlen geht so:
> > [mm][code]\IR[/code][/mm]
> >
> > Schaue dir die Sinuskurve mal an, für welche [mm]x[/mm] ist sie
> > definiert? Nur für solche mit [mm]x\ge 0[/mm] ??
> >
> > Und die Wertemenge stimmt doch auch nicht, wo wird denn
> > etwa der Wert 10 angenommen??
> >
> > Also überlege hier nochmal neu!
> >
> D= [mm]\IR[/mm] und W= [mm]\IR[/mm] so oder wie?
> [mm]\IR_{0}^{+}[/mm] Müsste D aber nicht gleich
> sein, weil sonst negative Zahlen rauskommen?
> Oderspielt das hier gar keine rolle?
Ich habe keinen Schimmer, wovon du redest, WENN du dir mal den Graphen angesehen hättest, dann hättest du gesehen, dass die Sinuskurve immer zwischen +1 und -1 herumoszilliert!
Wie ist also die Wertemenge?
>
> > > f(x)= cos x
> > >
> > > D = R und W= R
> >
> > Wie oben: Für welches [mm]x\in\IR[/mm] ist [mm]\cos(x)=10[/mm] oder
> > [mm]\cos(x)=-300[/mm] ??
>
> W = [mm]\IR_{0}^{+}[/mm]
>
> so richtig?
Nein, kompletter Unsinn, du gehst auf Antworten nicht ein, dann kann ich dir auch nicht weiterhelfen!
Sowas verstimmt mich maßlos ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lalalove |
ja, ich versteh es einfach nicht!
f(x)= sgn(x)
wie schreibt man das denn mit der wertemenge auf?
W= [mm] \IR{0} [/mm] oder?
f(x) = sinx
W= alle reelle zahlen zwischen -1 und 1?
f(x) = cos x
und hier ist es auch so wie oben
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Hallo!
> ja, ich versteh es einfach nicht!
>
> f(x)= sgn(x)
>
> wie schreibt man das denn mit der wertemenge auf?
>
> W= [mm]\IR{0}[/mm] oder?
Bevor du die Wertemenge formal aufschreibst, musst du dir klar machen, was die Wertemenge überhaupt ist.
Welche Zahlen sind darin enthalten.
Schreibe es zunächst einmal in Worten auf.
Schachuzipus hat dir ja schon einen zweiten Hinweis gegeben, es sind 3 Zahlen, die angenommen werden können.
> f(x) = sinx
>
> W= alle reelle zahlen zwischen -1 und 1?
Richtig.
Das ist ja dann ein Intervall, nämlich das Intervall $[-1,1]$
Am besten schreibt man das so: $W= [mm] \{ f(x) \in \IR | -1 \le f(x) \le 1 \}$
[/mm]
Statt $f(x)$ kannst du natürlich auch $y$ schreiben.
> f(x) = cos x
>
> und hier ist es auch so wie oben
Genau, auch hier wieder $W= [mm] \{ f(x) \in \IR | -1 \le f(x) \le 1 \}$
[/mm]
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lalalove |
> Hallo!
>
>
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> > ja, ich versteh es einfach nicht!
> >
> > f(x)= sgn(x)
> >
> > wie schreibt man das denn mit der wertemenge auf?
> >
> > W= [mm]\IR{0}[/mm] oder?
>
> Bevor du die Wertemenge formal aufschreibst, musst du dir
> klar machen, was die Wertemenge überhaupt ist.
>
> Welche Zahlen sind darin enthalten.
>
> Schreibe es zunächst einmal in Worten auf.
>
> Schachuzipus hat dir ja schon einen zweiten Hinweis
> gegeben, es sind 3 Zahlen, die angenommen werden können.
>
>
Ah, also ist die Wertemenge hier = -1;0;1
wie schreibt man das auf?
>
> > f(x) = sinx
> >
> > W= alle reelle zahlen zwischen -1 und 1?
>
> Richtig.
>
> Das ist ja dann ein Intervall, nämlich das Intervall
> [mm][-1,1][/mm]
>
> Am besten schreibt man das so: [mm]W= \{ x \in \IR | -1 \le x \le 1 \}[/mm]
>
>
>
> > f(x) = cos x
> >
> > und hier ist es auch so wie oben
>
> Genau, auch hier wieder [mm]W= \{ x \in \IR | -1 \le x \le 1 \}[/mm]
>
>
>
> LG, Nadine
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Hallo!
> Ah, also ist die Wertemenge hier = -1;0;1
>
> wie schreibt man das auf?
Richtig.
Du schreibst es wie eine Lösungsmenge, die kennst du bestimmt vom Lösen von Gleichungen:
[mm] $W=\{ -1;0;1 \}$
[/mm]
> > > f(x) = sinx
> > >
> > > W= alle reelle zahlen zwischen -1 und 1?
> >
> > Richtig.
> >
> > Das ist ja dann ein Intervall, nämlich das Intervall
> > [mm][-1,1][/mm]
> >
> > Am besten schreibt man das so: [mm]W= \{ x \in \IR | -1 \le x \le 1 \}[/mm]
>
> >
> >
> >
> > > f(x) = cos x
> > >
> > > und hier ist es auch so wie oben
> >
> > Genau, auch hier wieder [mm]W= \{ x \in \IR | -1 \le x \le 1 \}[/mm]
Beachte, dass es hier f(x) statt x heißen muss, ich hatte mich vertippt. In der meiner ersten Antwort habe ich es bereits korrigiert!
LG, Nadine
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
