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hallo,
ich habe die funktion y= ln(x+2/x-1)
Den definitionsbereich bestimme ich indem ich x-1>0 setze also x>1.
[mm] Df=]1,\infty[
[/mm]
da es eine gebrochen rationale funktion ist die eine funktion von x>-2 und die andere von x>1 definiert.
[mm] W=]-\infty;0] [/mm] und von [mm] [0,\infty[ [/mm]
ist meine überlegung richtig?
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 So 15.06.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hallo,
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> ich habe die funktion y= ln(x+2/x-1)
>
> Den definitionsbereich bestimme ich indem ich x-1>0 setze
> also x>1.
Nein, der Gesamte Term innerhalb des Logarithmusses muss >0 sein.
Also muss gelten
[mm] \frac{x+2}{x-1}>0
[/mm]
Das passiert dann, wenn der Zähler und der Nenner beide positiv oder beide negativ sind.
Ausschliessen musst du also die Fälle, in denen Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben
Für x>1 ist sowohl x-1>0 als auch x+2>0
Daher ist x>1 ein Teil des Definitionsbereichs.
Für x<-2 ist x-1<0 und x+2<0, also ist der Quotient aus den beiden negativen Zahlen dann auch postitiv.
Daher ist x<-2 der zweite Teil des Def-Bereichs.
Für [mm] -2\le x\le1 [/mm] ist der Zähler x+2 negativ, der Nenner x+1 aber positiv, daher ist der Quotient aus beiden Zahlen negativ. Daher musst du den Bereich [mm] -2\le x\le1 [/mm] ausschließen.
>
> [mm]Df=]1,\infty[[/mm]
>
> da es eine gebrochen rationale funktion ist die eine
> funktion von x>-2 und die andere von x>1 definiert.
>
> [mm]W=]-\infty;0][/mm] und von [mm][0,\infty[[/mm]
Das stimmt, wenn auch die Begründung nicht stimmt
Es gilt
[mm] \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=0
[/mm]
[mm] \lim\limits_{x\to-\infty}\ln\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=0
[/mm]
[mm] \lim\limits_{x\to-2^{-}}\ln\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=-\infty
[/mm]
und
[mm] \lim\limits_{x\to1^{+}}\ln\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=\infty
[/mm]
Da es außerdem keine Nullstellen gibt, ist der Wertebereich
[mm] W=\IR\setminus\{0\}
[/mm]
>
> ist meine überlegung richtig?
>
> Danke im voraus!
>
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
beim "Ausschluss" heißt es jeweils [mm] \le
[/mm]
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Mo 16.06.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Sax
> Hi,
>
> beim "Ausschluss" heißt es jeweils [mm]\le[/mm]
>
> Gruß Sax.
Du hast Recht, ich verbessere es sofort.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ...
> > [mm]W=]-\infty;0][/mm] und von [mm][0,\infty[[/mm]
>
> Das stimmt, wenn auch die Begründung nicht stimmt
>
> Es gilt
>
> [mm]\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=0[/mm]
>
> [mm]\lim\limits_{x\to-\infty}\ln\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=0[/mm]
>
> [mm]\lim\limits_{x\to-2^{-}}\ln\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=-\infty[/mm]
> und
>
> [mm]\lim\limits_{x\to1^{+}}\ln\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=\infty[/mm]
>
> Da es außerdem keine Nullstellen gibt, ist der
> Wertebereich
> [mm]W=\IR\setminus\{0\}[/mm]
da widersprichst Du dem Fragenden eigentlich:
[mm] $]-\infty,0] \cup [0,\infty[\;=\;\IR \not=\IR \setminus \{0\}$
[/mm]
Die Klammern um die Null (linkerhand) sind falsch herum, sie sollten dann
"Null ausschließend" stehen.
Gruß,
Marcel
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