detA und vollständige Induktio < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Seien a, b [mm] \in \IR [/mm] , und
A = [mm] \pmat{ a+b & ab & 0 & ... & ... & ... & 0 \\ 1 & a+b & ab & 0 & ... &... & 0 \\ 0 & 1 & a+b & ab & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 1 & a+b & ab \\ 0 & ... & ... & ... & 0 & 1 & a+b } \in [/mm] M (n x n ; [mm] \IR [/mm] )
a) Zeigen sie, Für a [mm] \not= [/mm] b ist det A = [mm] [a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1}] [/mm] / a-b
b) was ist det A für a=b ?
Tipp: Vollständige Induktion |
Hallo,
a)
ich habe bisher den Induktionsanfang für n=2 und komme darauf, dass es für n=2 stimmt.
Die Voraussetzung wäre, dass die gegebene Formel für detA (für n) stimmt
muss ich nun zeigen dass es für n+1 oder für n-1 auch stimmt?
Wie gehe ich dabei genau vor?
b)
da müsste eine neue Formel her, sonst kommt bei dieser formel 0 im Nenner und somit würde eine detA für a=b nicht existieren
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien a, b [mm]\in \IR[/mm] , und
>
> A = [mm]\pmat{ a+b & ab & 0 & ... & ... & ... & 0 \\ 1 & a+b & ab & 0 & ... &... & 0 \\ 0 & 1 & a+b & ab & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 1 & a+b & ab \\ 0 & ... & ... & ... & 0 & 1 & a+b } \in[/mm]
> M (n x n ; [mm]\IR[/mm] )
>
> a) Zeigen sie, Für a [mm]\not=[/mm] b ist det A = [mm][a^{n+1}[/mm] -
> [mm]b^{n+1}][/mm] / a-b
> b) was ist det A für a=b ?
>
> Tipp: Vollständige Induktion
> Hallo,
>
> a)
> ich habe bisher den Induktionsanfang für n=2 und komme
> darauf, dass es für n=2 stimmt.
> Die Voraussetzung wäre, dass die gegebene Formel für detA
> (für n) stimmt
>
> muss ich nun zeigen dass es für n+1 oder für n-1 auch
> stimmt?
Für n+1.
> Wie gehe ich dabei genau vor?
Entwickle nach einer geeigneten Spalte (Zeile)
>
> b)
> da müsste eine neue Formel her, sonst kommt bei dieser
> formel 0 im Nenner und somit würde eine detA für a=b
> nicht existieren
Es ist [mm] (a^{n+1} [/mm] - [mm]b^{n+1}[/mm]) / [mm] (a-b)=a^n+a^{n-1}b+...+ab^{n-1}+b^n.
[/mm]
Die rechte Seite dieser Gl. ist für a=b unproblematisch.
FRED
>
>
> Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 17.01.2013 | | Autor: | Aguero |
Hey,
b)
warum ist das linke gleich dem rechtem?
kannst du das an einem beispiel zeigen?
bei mir geht das irgendwie nicht auf, vielleicht komme ich auf enen schritt nicht der dabei gemacht weden muss?
und selbst wenn es klappt, da die linke gleich die rechte ist und die linke nicht klappt, warum sollte die rechte bei a=b funktionieren?
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> b)
> warum ist das linke gleich dem rechten?
Auf der rechten Seite steht die Summe einer geometrischen
Folge, die du mit der entsprechenden ![[]](/images/popup.gif) Formel berechnen
kannst.
> kannst du das an einem Beispiel zeigen?
$\ [mm] (a^3+a^2*b+a*b^2+b^3)*(a-b)\ [/mm] =\ ......\ ?$ (ausmultiplizieren !)
> und selbst wenn es klappt, da die linke gleich die rechte
> ist und die linke nicht klappt, warum sollte die rechte bei
> a=b funktionieren?
Dass in der Formel für die Determinante von A
(für beliebige n) eine Division vorkommt, hat nur
damit zu tun, dass man für die kompakte Darstellung
einer Summe eben implizit schon die Summenformel
für geometrische Folgen verwendet hat.
In der Berechnung der Determinante an sich kommen
aber keine Divisionen vor - es ist einem also
unbenommen, für den Fall a = b (aber auch sonst)
die Summe ganz auszuschreiben.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Do 17.01.2013 | | Autor: | Aguero |
> > b)
> > warum ist das linke gleich dem rechten?
>
> Auf der rechten Seite steht die Summe einer geometrischen
> Folge, die du mit der entsprechenden
> Formel
> berechnen
> kannst.
>
> > kannst du das an einem Beispiel zeigen?
>
> [mm]\ (a^3+a^2*b+a*b^2+b^3)*(a-b)\ =\ ......\ ?[/mm]
[mm] =a^{4} [/mm] - [mm] b^{4} [/mm] UND NUN?
>
> > und selbst wenn es klappt, da die linke gleich die rechte
> > ist und die linke nicht klappt, warum sollte die rechte bei
> > a=b funktionieren?
>
> Dass in der Formel für die Determinante von A
> (für beliebige n) eine Division vorkommt, hat nur
> damit zu tun, dass man für die kompakte Darstellung
> einer Summe eben implizit schon die Summenformel
> für geometrische Folgen verwendet hat.
> In der Berechnung der Determinante an sich kommen
> aber keine Divisionen vor - es ist einem also
> unbenommen, für den Fall a = b (aber auch sonst)
> die Summe ganz auszuschreiben.
>
Super, das wäre ja die Erklärung dafür, stimmts?
Also ist das unabhängig ob da im nenner 0 steht oder nicht, da bei matrizen keine division stattfindet?
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> > > b)
> > > warum ist das linke gleich dem rechten?
> >
> > Auf der rechten Seite steht die Summe einer geometrischen
> > Folge, die du mit der entsprechenden
> >
> Formel
> > berechnen
> > kannst.
> >
> > > kannst du das an einem Beispiel zeigen?
> >
> > [mm]\ (a^3+a^2*b+a*b^2+b^3)*(a-b)\ =\ ......\ ?[/mm]
> [mm]=a^{4}[/mm] - [mm]b^{4}[/mm] UND NUN?
Naja, du wolltest ein Beispiel, und damit hast
du eines, oder nicht ? Ich hoffe mal, dass du dich
daran erinnerst, dass Division (Quotientenbildung)
und Multiplikation eng miteinander verwandt sind,
und auch, wie ...
Wenn es dir nicht genügt, mach's nochmal für
einen anderen Exponenten oder führe gleich den
entsprechenden Induktionsbeweis !
> > > und selbst wenn es klappt, da die linke gleich die rechte
> > > ist und die linke nicht klappt, warum sollte die rechte bei
> > > a=b funktionieren?
> >
> > Dass in der Formel für die Determinante von A
> > (für beliebige n) eine Division vorkommt, hat nur
> > damit zu tun, dass man für die kompakte Darstellung
> > einer Summe eben implizit schon die Summenformel
> > für geometrische Folgen verwendet hat.
> > In der Berechnung der Determinante an sich kommen
> > aber keine Divisionen vor - es ist einem also
> > unbenommen, für den Fall a = b (aber auch sonst)
> > die Summe ganz auszuschreiben.
> >
>
> Super, das wäre ja die Erklärung dafür, stimmts?
>
>
> Also ist das unabhängig ob da im nenner 0 steht oder
> nicht, da bei matrizen keine division stattfindet?
Ja.
LG , Al-Chw.
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